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rang d'une application linéaire


btsrang d'une application linéaire

#msg1843144#msg1843144 Posté le 01-05-08 à 13:32
Posté par Profilseverinette severinette

Bonsoir , si je veux connaitre le rang d'une application linéaire , je regarde le rang de sa matrice pas vrai ?

Donc j'ai une matrice , j'ai appliqué gauss dessus au maximum , maintenant comment je fais pour avoir son rang ?

merci
re : rang d'une application linéaire#msg1843253#msg1843253 Posté le 01-05-08 à 13:58
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Salut severinette (tu es décalée ou t'as pas encore ouvert les volets?? )!

Il suffit de dénicher une sous-matrice carrée inversible de format maximal dans la matrice que tu viens d'obtenir.

Soit la plus grosse possible que tu vois à l'intérieur est inversible, et dans ce cas le rang est égal au format en question, soit elle ne l'est pas, et dans ce cas tu testes les matrices de rang un de moins, etc...
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re : rang d'une application linéaire#msg1843257#msg1843257 Posté le 01-05-08 à 13:59
Posté par Profilseverinette severinette

salut tig lol , t'as pas plus facile car c'est pas une matrice carrée que j'ai ...
re : rang d'une application linéaire#msg1843269#msg1843269 Posté le 01-05-08 à 14:01
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Ah ben dans le vague ça va être dur, envoie ta matrice si tu veux!
re : rang d'une application linéaire#msg1843270#msg1843270 Posté le 01-05-08 à 14:02
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut severinette et Greg

Par définition, 3$\rm rg(f)=rg(A)=dim Vect\{C_1,...,C_p\} où A est la matrice canoniquement associée à A, et où C1 ... Cp sont les matrices colonnes de A, non ?

re : rang d'une application linéaire#msg1843272#msg1843272 Posté le 01-05-08 à 14:03
Posté par Profilinfophile infophile

Salut

Donne la matrice ça sera plus simple
re : rang d'une application linéaire#msg1843275#msg1843275 Posté le 01-05-08 à 14:03
Posté par Profilinfophile infophile

Posts croisés ^^
re : rang d'une application linéaire#msg1843277#msg1843277 Posté le 01-05-08 à 14:04
Posté par Profilseverinette severinette

beh j'ai une application linéaire de R^4 dans R³ qui est la suivante :

1 1 0 1
1 1 0 2
1 0 1 0

j'applique gauss et j'ai au final :

1 1 0 1
0 -1 1 -1
0 0 0 1

alors je me disais que peut etre yavait un rapport avec le nombre de pivot ou autre , en matant ma dernière matrice , sans utiliser de déterminant , comment tu trouves son rang ?
re : rang d'une application linéaire#msg1843286#msg1843286 Posté le 01-05-08 à 14:06
Posté par Profilinfophile infophile

Ce que tu peux faire c'est faire apparaître deux 0 dans la première colonne par soustraction lignes/colonnes, et comme ça tu peux utiliser la formule rg(A) = 1 + rg(...).

re : rang d'une application linéaire#msg1843290#msg1843290 Posté le 01-05-08 à 14:07
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Re KEvin!

Bon déjà, le rang vaut 3 au maximum puisque M est de format (3;4).

Ensuite la plus grosse sous-matrice que je vois dans ton résultat, c'est


101
11-1
001


Elle est inversible (vecteurs indépendants ou déterminant, au choix), donc le rang de la matrice initiale M vaut 3.
re : rang d'une application linéaire#msg1843298#msg1843298 Posté le 01-05-08 à 14:09
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Pardon, j'ai oublié un moins dans le terme d'indice (2;1), mais ce qui suit reste valable.


Citation :
rg(A) = 1 + rg(...).


->C'est quoi cette formule??
re : rang d'une application linéaire#msg1843301#msg1843301 Posté le 01-05-08 à 14:09
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Je dirais :

à partir de la matrice, et grâce à Gauss on tombe sur ce que t'as fait.

Ainsi, on a que Ker(f) est une droite vectorielle dirigée selon 3$\rm \vec{u}\|1\\-1\\-1\\0

Le théorème du rang donne : 3$\rm dim({\bb R}^4) = dim(Ker f) + rg(f) donc 3$\rm\fbox{rg(f)=4-1=3

Non ?
re : rang d'une application linéaire#msg1843302#msg1843302 Posté le 01-05-08 à 14:10
Posté par Profilseverinette severinette

oui mais toi tu vas directement une matrice inversible car t'as l'habitude mais moi non , sans déterminant , ya pas une méthode avec les pivots ou autre ?

PS : en fait le rang d'une application linéaire géométriquement parlant ça veut dire quoi car je l'utilise bêtement mais sans rien comprendre de ce qu 'il en est...
re : rang d'une application linéaire#msg1843321#msg1843321 Posté le 01-05-08 à 14:16
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Zaimez pas ma méthode ? :p
re : rang d'une application linéaire#msg1843322#msg1843322 Posté le 01-05-08 à 14:16
Posté par Profilinfophile infophile

Sauf erreur on a vu en cours que si on a une matrice de la forme :

3$ \rm rg\[\begin{pmatrix}1&\ast&\ast&\ast&\ast\\0&.&.&.&.\\0&.&.&.&.\\0&.&.&.&.\end{pmatrix}\]=1+5$ \rm rg\[\begin{pmatrix}.&.&.&.\\.&.&.&.\\.&.&.&.\end{pmatrix}\]

re : rang d'une application linéaire#msg1843330#msg1843330 Posté le 01-05-08 à 14:19
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Il te suffit de vérifier que les 3 vecteurs colonne que je donne sont libres, pour ceci pars d'une relation de liaison et montre que les scalaires a,b,c sont nécessairement nuls.

Une alternative est ce que propose Guillaume (guitou, dit guigui ):

chercher le noyau puis appliquer le théorème du rang.

Le rang d'une application linéaire, géométriquement, c'est combien de vecteurs parmi les images des vecteurs de base sont libres.

Ex pour une aplication linéaire de R² dans lui-même, tu regardes les images de i et de j, si elles sont nulles toutes les deux tu as l'application nulle (rang=0), si les deux vecteurs sont colinéaires mais non tous deux nuls, le rang vaut 1, s'ils sont non colinéaires, le rang vaut 2 et l'application est inversible, c'est-à-dire bijective.
re : rang d'une application linéaire#msg1843331#msg1843331 Posté le 01-05-08 à 14:19
Posté par Profilseverinette severinette

attendez les gars vous vous ruez tous sur ma matrice comme des brutes et dans toute cette violence vous me perdez en route , qui peut répondre précisément à ces questions :

1. pourquoi tigweg tu prends la sous matrice

1 0 1
-1 1 -1
0 0 1

alors que moi j'en vois une autre , comme par exemple :

1 1 0
0 -1 1
0 0 0 .

2. pourquoi le rang de la matrice est d'au maximum 3 , parce qu'elle engendre des vecteurs de dimension 3 ?

3. dans la matrice que j'ai trouvé , combien voyez vous de pivots svp ? quel rapport ont ils avec le rang de l'application ?

merci bien
re : rang d'une application linéaire#msg1843337#msg1843337 Posté le 01-05-08 à 14:21
Posté par Profilinfophile infophile

Donc en partant de ce qu'elle a fait avec Gauss on a directement 3$ \rm rg(A)=1+rg\[\begin{pmatrix}-1&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\]

Les deux premiers vecteurs colonnes sont liés donc on peut en enlever un, et il reste deux vecteurs linéairement indépendants donc de rang 2, et avec le +1 on a alors rg(A) = 3.

re : rang d'une application linéaire#msg1843339#msg1843339 Posté le 01-05-08 à 14:21
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

OK KEvin, je ne voyais pas à quoi tu faisais référence!

Mais ce n'est pas extrêmement connu comme "formule", severinette ne l'a peut-être pas appris.
re : rang d'une application linéaire#msg1843343#msg1843343 Posté le 01-05-08 à 14:22
Posté par Profilseverinette severinette

n'oubliez pas mes messages hein c'est moi qui ai besoin d'aide
re : rang d'une application linéaire#msg1843353#msg1843353 Posté le 01-05-08 à 14:25
Posté par Profilinfophile infophile

Je vous laisse, à plusieurs on risque de l'embrouiller

A+ tout le monde
re : rang d'une application linéaire#msg1843356#msg1843356 Posté le 01-05-08 à 14:25
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Citation :
attendez les gars vous vous ruez tous sur ma matrice comme des brutes


->C'est qu'on l'aime, ta matrice!


1)Parce qu'il en faut une qui soit inversible pour sortir le rang!

Celle que tu proposes a une ligne de 0, donc ne l'est pas.

2)Justement parce qu'on arrive dans R3, il y aura au plus 3 vecteurs libres.

De façon générale, le rang d'une matrice est au maximum égal à la plus petite des deux dimensions.

3)Le nombre de pivots ne donne pas le rang, ils servent juste chacun à réduire la matrice.

Après, pour conclure sur le rang, il faut utiliser une des 3 méthodes qu'on t'a proposées.
re : rang d'une application linéaire#msg1843360#msg1843360 Posté le 01-05-08 à 14:26
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Lol pauvre severinette, effectivement j'ai peur qu'on l'embrouille!

Je pensais également vous laisser le topic les gars!
re : rang d'une application linéaire#msg1843365#msg1843365 Posté le 01-05-08 à 14:28
Posté par Profilinfophile infophile

Non je ne maitrise pas parfaitement ces notions donc je préfère laisser la main et suivre le topic dans mon coin
re : rang d'une application linéaire#msg1843371#msg1843371 Posté le 01-05-08 à 14:29
Posté par Profilseverinette severinette

ok ça commence à s'éclaircir , mais quand tu cherches une sous matrice , tu en cherches une carrée ?
re : rang d'une application linéaire#msg1843372#msg1843372 Posté le 01-05-08 à 14:29
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Idem, laissons le pro
re : rang d'une application linéaire#msg1843375#msg1843375 Posté le 01-05-08 à 14:30
Posté par Profilseverinette severinette

ben disons que déjà suivre vos réponses individuellement faut déjà s'accrocher , si en plus vous mettez chacun votre méthode moi je coule , mais je vous en veux pas c'est très gentil de vouloir m'aider d'autant que dans 90% des cas grâce à vos réponses je progresse...
re : rang d'une application linéaire#msg1843396#msg1843396 Posté le 01-05-08 à 14:36
Posté par Profilseverinette severinette

en tout cas merci bcp tig , info et gui
re : rang d'une application linéaire#msg1843399#msg1843399 Posté le 01-05-08 à 14:36
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

et aussi !

Citation :
quand tu cherches une sous matrice , tu en cherches une carrée ?


->Oui! Le rang d'une matrice, c'est le format maximal d'une sous-matrice carrée inversible de la matrice de départ.
re : rang d'une application linéaire#msg1843405#msg1843405 Posté le 01-05-08 à 14:37
Posté par Profilseverinette severinette

ok
re : rang d'une application linéaire#msg1843412#msg1843412 Posté le 01-05-08 à 14:39
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

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