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Niveau Maths sup
Irréductibililé sur Z[X] et Q[X]
Posté par Maitreidmry
Bonjour à tous,
Je me pose une question concernant l'irréductibilité des polynômes.
Ceci est -il vrai ?
P irréductible sur P irréductible sur
Car il est plus facile de montrer une irréductiblité sur Z[X] (avec le critère d'Eisenstein par exemple). Et puis il est facile de voir que tout polynome de Q[X] peut etre ramené à un polynome de Z[X] (il suffit de multiplier le polynôme par le PPCM des dénominateurs des coefficients).
Merci à tous pour vos éclaircissements
Merci de votre aide mais je viens de trouver la réponse 
C'est vrai uniquement si P est un polynôme primitif (cela porte d'ailleurs le nom de Lemme de Gauss), et cela s'étend à tout anneau factoriel A et son corps des fractions K.
Bonsoir,
en effet!Contre-exemple bateau: le polynôme constant 2 est irréductible sur Z[X] mais pas sur Q[X] puisqu'il y est inversible!
Salut tout le monde,
Citation :
Car il est plus facile de montrer une irréductiblité sur Z[X] (avec le critère d'Eisenstein par exemple).
Car il est plus facile de montrer une irréductiblité sur Z[X] (avec le critère d'Eisenstein par exemple).
Euh Eisenstein ça marche uniquement quand l'exo est fait pour que ça marche. C'est quand même très exigeant comme critère d'irréductiblité! Sinon dans le cas général (en pratique surtout) il est très facile de passer de l'irréductibilité dans Z à celle dans Q puisque notamment les polyn considéré sont presque toujours unitaires...