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Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée nième.

Posté par
alpha 3578 01-05-08 à 16:52

Bonjour à tous, voici l'exercice qui me pose problème : Dans un souci de clarté je vais vous indiquer le lien de l' exercice, en effet le document est un pdf et nécessite Adobe Reader ***
J'ai donc un souci car je ne comprend pas comment démontrer par récurrence que f est de classe infinie car f est la composée de fonction de classe infinie , autre interrogation  lors de l'héredite ( je fais une récurrence unique pour démontrer les 2 affirmations) je n'arrive pas à calculer (f^(n))' pour retrouver f^(n+1) et conclure. Merci à tous pour votre aide.
Cordialement Alpha.

édit Océane : pas de lien vers les énoncés

Posté par
gui_toure : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 17:16

Salut

On définit la fonction f par 3$\|\forall x\in ]0,+\infty[\\f(x)=e^{-1/x   et  la suite de polynômes (Pn) par : 3$\rm\|P_0=1\\\forall n\in{\bb N},\;P_{n+1}=X^2(P_n-P'_n)

On veut montrer par récurrence sur l'entier n que f est C^{+\infty et  que : 3$\fbox{\forall n \in{\bb N},\;\forall x\in{\bb R}^*_+,\;f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x

On définit, à pour un entier naturel n fixé, la propriété : 3$\fbox{\scr{P}(n)\,\Longleftright\,\|\rm{f est C^n sur ]0,+\infty[}\\\forall x>0,\;f^{(n)}(x)=P_n(1/x)f(x)

Initialisation :

pour n=0 : tu as montré que f était C1. De plus, on a bien 3$f(x)=P_0(1/x)e^{-1/x et ce pour tout x positif strictement car 3$\rm P_0=1 donc 3$\fbox{\scr{P}(0)

Hérédité :

Soit 3$\rm n\in{\bb N}^* tel que 3$\scr{P}(n). Montrons que 3$\scr{P}(n+1) ie 3$\fbox{\scr{P}(n+1)\,\Longleftright\,\|\rm{f est C^{n+1} sur ]0,+\infty[}\\\forall x>0,\;f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}(1/x)f(x)

Soit x un réel strictement positif. 3$f^{(n) est dérivable sur IR*+ comme produit de fonctions dérivables sur IR*+

Alors 3$f^{(n+1)}(x)=\fr{d}{dx}\[f^{(n)}(x)\]=f'(x)P_n(1/x)-\fr{1}{x^2}.P'_{n}(1/x)f(x)=\fr{1}{x^2}f(x)P_n(1/x)-\fr{1}{x^2}.P'_{n}(1/x)f(x)

3$f^{(n+1)}(x)=f(x).\fr{1}{x^2}\[P_n(x)-P'_n(x)\]=f(x)P_{n+1}(\fr1x)

On voit que 3$f^{(n+1)} est continue sur 3$\rm {\bb R}^*_+, ainsi f est 3$\rm C^{n+1 sur 3$\rm {\bb R}^*_+

Conclusion : 3$\fbox{\scr{P}(n+1)

Sauf erreurs

Posté par
alpha 3578re : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 17:22

Bonjour merci d'avoir répondu si vite n'est-il pas plus judicieux d'initialiser à n=1 car on a C^1 et non C^0 ?

Posté par
gui_toure : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 17:24

Je me suis planté en recopiant, faut lire :

Citation :
pour n=0 : tu as montré que f était C0 (prolongement par continuité)


Posté par
alpha 3578re : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 17:28

D'accord merci pour la précision gui_tou.
Cordialement

Posté par
gui_toure : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 17:29

Pas de prob' !

Bonne continuation

Posté par
alpha 3578re : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 17:34

Ca y est j'ai entièrement assimilé la subtilité. Merci de ton aide  
A bientôt Alpha.

Posté par
alpha 3578re : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 21:32

Cependant je ne vois pas d'où vient le -1/x^2 dans le calcul de la dérivée ?

Posté par
infophilere : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 21:34

Bonsoir

Ca vient de la dérivée de la composée Pn(1/x).

Posté par
alpha 3578re : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 21:34

Je pense que le calcul de la dérivée est faux ?

Posté par
gui_toure : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 21:46

Je crois pas moi ^^

Posté par
gui_toure : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 21:47

Mais il y a effectivement une faute de frappe

3$f^{(n+1)}(x)=f(x).\fr{1}{x^2}\[P_n(1/x)-P'_n(1/x)\]=f(x)P_{n+1}(\fr1x)

Posté par
alpha 3578re : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 21:53

Merci infophile et gui_tou.  
Bonne soirée.  

Posté par
gui_toure : Calcul de dérivées, fonction de classe infinie et dérivée n 01-05-08 à 22:00


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