Forum : suites :
Démonstration théorème des valeurs intermédiaire avec suites

Bonjour à tous! Je bloque littéralement sur cet exo traîtant des suites et de la démontration du TVI.
J'ai beau essayé je ne trouve rien! Dans un premier temps, je vous demande de m'expliquer un peu l'exo car je ne comprends pas la définition des différentes suites de l'exo! Merci d'avance!

f est une fonction définie et continue sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a<b et k est un réel compris entre f(a) et f(b). On suppose que .
On construit ci-dessous par récurrence:
*une suite croissante a telle que pour tout n de , .
*une suite décroissante b telle que pour tout n de , .
On pose et . On suppose construits les termes des deux suites jusqu'au rang n.

Si , on pose et .

Si , on pose et .

1.a.Vérifier que la suite a est croissante et que la suite b est décroissante.
b. Démontrer que pour tout n de N, .
c.En déduire que les suites a et b sont adjacentes. On note c leur limite commune.
2.a. Quelle est la limite de f(an) et f(bn) lorsque n tend vers +oo? Justifier le résultat.
b.Terminer la démonstration du TVI.

Alors un des gros problèmes et que je ne comprends aps toutes les suites, et comment a et b sont définies! Je ne sais donc pas comment étudier le signe de la différence an+1-an par exemple :s
Merci de votre aide!
Ben

Bonjour,

Je ne sais pas trop quoi répondre. Tu demandes comment les suites sont définies. L'énoncé l'explique, grâce aux formules de récurrence.

Nicolas

Hmm, mais selon deux cas c'est ça?
Ici il y a 4 suites? an, bn, f(an) et f(bn)?

Pour la première question, j'ai voulu étudié le signe de la différence: an+1-an, mais je ne vois pas comment faire!

En efet, il y a deux cas.
Et deux suites : (an) et (bn).
Ensuite, tu peux considérer f(an), f(bn), an², 2*bn et tout ce que tu veux

1.a. Commence par montrer par récurrence que an =< bn

Nicolas

Mais pour le 1a il ne faut pas montrer que la différence an+1-an est positive et bn+1-bn négative?

1.a. Commence par montrer par récurrence que an =< bn

Hey Nicolas et désolé pour le retard!

Alors j'ai un peu avancé. On montre par récurrence que an=<bn.

Pour n=0, dans les deux cas on a : a0=a et b0=b et a<b donc a0<b0.
Vrai pour n=0

Soit n de N tel que an<bn. Il s'agit de démontrer que an+1<bn+1
a. Si f(an+bn/2)<k: j'ai montré que an<bn implique an+1<bn+1
b.Si f(an+bn/2)>k: j'ai montré de même l'implication.

On a donc démontré par récurrence que pour tout n de N: an<bn.
De ce fait:
*Si f(an+bn/2)<k:  an+1-an=...=(bn-an)/2 et donc d'après le signe la différence est positive, suite croissante.
Pour b je trouve une suite constante ce qui me parait bizarre...
*Si f(an+bn/2)>k:  bn+1-bn=...=(an-bn)/2, signe nég donc suite décroissante.
mais encore, a est ici constante?!

On a donc démontré que a est croissante et b décroissante.

2. On démontre par récurrence que pour tout n de N: bn-an=1/2n(b0-a0)
Pour n=0: b0-a0=b-a=1/2⁰*(b-a)
Donc vrai au premier rang.
Soit n de N tel que bn-an=1/2n(b0-a0).
On veut démontrer que bn+1-an+1=.....

*Si f(an+bn/2)<k:  bn+1-an+1=...=(bn-an)/2, or bn-an=1/2n(b0-a0).
On remplace et on trouve bien ce qui est cherché.
*So f(an+bn)/2>k: on trouve également l'égalité recherchée pour bn+1-an+1

CQFD: on a démontré par récurrence l'égalité.

3.La suite bn-an est géométrique de premier terme b-a et de raison 1/2.
-1<1/2<1 donc la limite de la suite bn-an qd n tend vers +oo est égale à 0.
de plus a croissante, b déc donc a et b sont adjacentes. c leur limite.


Je bloque: quelle est la lmitie de f(an) et de f(bn) qd n tend vers +oo? justifier.
Coment montrer que c'est k?

Si je suis allé trop vite de mande moi je puorrai remttre le détail!
Merci d'avance!
Ben

citation :
Pour b je trouve une suite constante ce qui me parait bizarre...

Non. Tu trouves que ces deux termes consécutifs (n et n+1) sont égaux (pas toute la suite). C'est autorisée pour les suites croissantes (ou décroissantes).

2.a.
an tend vers c. Puisque f est continue f(an) tend vers f(c)
bn tend vers c. Puisque f est continue f(bn) tend vers f(c)

D'après l'énoncé :
f(an) =< k =< f(bn)
On passe à la limite :
f(c) =< k =< f(c)
donc f(x) = k

Donc la limite commune à f(an) et f(bn) est k

Merci pour ta réponse!
Je ne comprends pas le passage à f(x)=k. Je comprends l'argument avec la continuité, l'encadrement, le passage à la lmitie mais après non! Pourrais-tu me réexpliquer?!

Sinon, ce qu'il y a avant est corecte?!
Merci encore!
Ben

Ce qui est avant me semble globalement correct. Je n'ai pas vérifié les détails (que tu n'as pas donné).

Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans mon dernier message. Quelle(s) ligne(s) précisément ?

f(c) =< k =< f(c)
donc f(c) = k

Donc f(c), la limite commune à f(an) et f(bn) est k

Ah oki merci!
Ils attendent quoi par finir la démonstration du TVI?

Ils attendent que tu démontres le TVI en te servant des questions précédentes.

le TVI c'est:
Pour f une fonction continue sur un intervalle I, pour tout réel a et b de I, pour tout réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au moins un réel c entre a et b tel que f(c)=k.

Ici, k est bien compris entre f(a) et (b) et on a démontrer que la limite commune était f(c)=k. Il existe donc bien au moins un réel entre a et b tel que (c)=k: c'est la limite des deux suites adjacentes?

C'est bien l'idée.

lol, c'est bien l'idée mais il manque quelque chose?!

Un peu de chair ?

pardon?!

Rédige un peu plus.

Ah!

Hmmm alors:

Les suites a et b étant deux suites adjacents, on sait que la limite de f(an) et f(bn) et la même, à savoir f(c). De plus, on sait également que f(c)=k donc que la limite des suites adj est égale à k.
Or k est compris entre f(a) et f(b) donc il est un réel tel que f(c)=k est compris entre a et b.

Je ne vois pas ce qu'il faut mettre de plus :s