Bonjour,
On note id l'endormorphisme de IR^3 et f l'endomorphisme de IR^3 dont la matrice dans la base canonique de IR^3 est A (Matrice avec des 1 sur la première diagonale, 0 sinon)
On pose E1=Ker(f-id) et E2=Ker(f-2id)
a) Donner une base de E1 et E2 (fait)
b) Montrer que la réunion des deux bases précédentes (noté B') est une base de IR^3 (fait)
c) Déterminer la matrice P de passage de B vers B' (fait)
Trouver l'inverse de la matrice P (fait)
d) Déterminer D, la matrice de f dans la base B' (fait)
Calculer Dn puis An
Et ca, je bloque
J'ai et
(Matrice 3*3)
Merci
Skops
Alors :
E1 est le plan d'équation x + y + z = 0
E2 est la droite d'équation x = y = z.
Comme la somme des dimensions de E1 et de E2est 3,
et comme E1E2 = {0}
on en déduit que E1 E2 = R3.
Alors,
Salut Skops
Donne voir les bases que tu as trouvé pour chaque espace avec la méthode que tu as utilisée (en fait utilise la méthode que t'as donné Raymond
J'ai pas vérifié, mais si c'est ça alors comme la matrice de passage que t'as donnée est juste. Il suffit de l'inverser et puis de calculer tu auras surement une matrice diagonale D où il y a deux fois -1 et une seule fois 2 (ce sont les valeurs propres ... si tu connais alors tu peux faire ton exo en une seule ligne sinon, tu vas voir ça en deuxième année )
C'est la même réponse que raymond pour mes bases
En inversant P, je trouve un facteur 1/3 et c'est ca qui me gène
Skops
Tu as :
Calcul de An.
En voyant les questions qui te sont posées, la meilleure solution est d'écrire :
D = P-1.A.P <=> A = P.D.P-1 => An = P.Dn.P-1
Or, le calcul de Pn est simple.
Je trouve :
Oui j'avais bien trouvé ca
Merci carpediem et raymond
En fait, au début, j'ai dit que A=PDP-1 et j'ai tout passé à l'exposant n alors pour trouver P^n....
Mais en fait, c'est juste un changement de base ^^
Skops
Oui.
J'ai trouvé une autre méthode. On a : A + I = J : matrice dont tous les termes valent 1.
Donc A = J - I.
Comme I commute avec J, la formule du binôme de Newton est possible.
An = (J - I)n
On développe, puis on remarque que pour tout p > 0, Jp = 3p-1.J
On peut donc mettre J en facteur (sauf dans le terme (-1)n.I), puis réappliquer la formule du binôme de
Newton à l'envers sur le coefficient de J.
Bonne fin de soirée.
Bonjour.
On peut aussi utiliser le fait que (A+I)(A-2I) = O (polynôme minimal).
1°) On écrit la division euclidienne de Xn par (X+1)(X-2):
Xn = (X+1)(X-2)Q(X) + an.X + bn (I)
2°) En remplaçant successivement X par -1, puis par 2 dans (I), on trouve an et bn.
Enfin, on remplace X par A dans (I)
Soit A une matrice carrée d'ordre n > 0 à coefficients dans K.
Il existe toujours des polynômes P de K[X] tels que P(A) = O (matrice nulle).
Ces polynômes sont tous multiples d'un polynôme de degré minimum p dont le coefficient du terme dominant est 1 (on dit qu'il est normalisé) et tel que p(A) = O.
p s'appelle le polynôme minimal de A.
Cette définition s'applique naturellement à tout endomorphisme u d'un K-ev de dimension finie.
Exemple. Soit u un projecteur non trivial (u différent de O et de Id(E)).
Puisque u² = u, alors p(X) = X² - X est le polynôme minimal de u.
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