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Niveau Maths sup
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Matrice

Posté par
Skops
01-05-08 à 17:41

Bonjour,

On note id l'endormorphisme de IR^3 et f l'endomorphisme de IR^3 dont la matrice dans la base canonique de IR^3 est A (Matrice avec des 1 sur la première diagonale, 0 sinon)

On pose E1=Ker(f-id) et E2=Ker(f-2id)

a) Donner une base de E1 et E2 (fait)
b) Montrer que la réunion des deux bases précédentes (noté B') est une base de IR^3 (fait)
c) Déterminer la matrice P de passage de B vers B' (fait)
Trouver l'inverse de la matrice P (fait)
d) Déterminer D, la matrice de f dans la base B' (fait)

Calculer Dn puis An
Et ca, je bloque

J'ai 4$P_{B'}^B=\frac{1}{3}\(111\\-101\\0-11\) et 4$D=\frac{1}{3}\(-12-1\\-1-12\\222\)
(Matrice 3*3)  

Merci

Skops

Posté par
raymond Correcteur
Matrice 01-05-08 à 17:45

Bonjour.

Peux tu préciser A ?

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 17:50

Bonjour,

4$A=\(011\\101\\110\)

Skops

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 17:57

D'ailleurs, je doute pour mon D

Skops

Posté par
raymond Correcteur
Matrice 01-05-08 à 17:59

Merci.

Ne serait-ce pas plutôt E1 = Ker(f + Id) ?

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 18:01

Oui

Je trouve :

4$P_B^{B'}=\(111\\-101\\0-11\)

4$P_{B'}^{B}=\frac{1}{3}\(1-21\\11-2\\111\)

4$P_B^{B'}=\frac{1}{3}\(-12-1\\-1-12\\222\)

Skops

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 18:08

Quel boulet...
C'est D pour le dernier

Skops

Posté par
raymond Correcteur
re : Matrice 01-05-08 à 18:23

Alors :

E1 est le plan d'équation x + y + z = 0

E2 est la droite d'équation x = y = z.

Comme la somme des dimensions de E1 et de E2est 3,

et comme E1E2 = {0}

on en déduit que E1 \bigoplus E2 = R3.

Alors, 2$\textrm D = \begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 18:29

Merci raymond

Mon 4$P_B^{B'} est t'il juste ?

Skops

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 20:02

Je tombe toujours sur le même D

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Matrice 01-05-08 à 20:28

Salut Skops

Donne voir les bases que tu as trouvé pour chaque espace avec la méthode que tu as utilisée (en fait utilise la méthode que t'as donné Raymond

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 20:41

E1 : ((1,-1,0),(1,0,-1))
E2 : ((1,1,1))

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : Matrice 01-05-08 à 20:56

J'ai pas vérifié, mais si c'est ça alors comme la matrice de passage que t'as donnée est juste. Il suffit de l'inverser et puis de calculer P^{-1}AP tu auras surement une matrice diagonale D où il y a deux fois -1 et une seule fois 2 (ce sont les valeurs propres ... si tu connais alors tu peux faire ton exo en une seule ligne sinon, tu vas voir ça en deuxième année )

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 21:02

C'est la même réponse que raymond pour mes bases

En inversant P, je trouve un facteur 1/3 et c'est ca qui me gène

Skops

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 21:20

Ah , je vois peut être où est mon erreur

J'ai dit que 4$D=P_{B'}^BA

Skops

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 21:34

Cette formule ne marche que pour un vecteur, c'est ca ?

Skops

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 22:26

Si quelqu'un à une idée pour le calcul de A^n...

Skops

Posté par
carpediem
Matrice 01-05-08 à 23:51

si D=P-1AP alors Dn=P-1AnP donc tu peux en déduire An

Posté par
raymond Correcteur
re : Matrice 01-05-08 à 23:52

Tu as :

2$\textrm P = \begin{pmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}

2$\textrm P^{-1} = \fra{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&1&-2\\1&1&1\end{pmatrix}

2$\textrm D = P^{-1}.A.P = \fra{1}{3}\begin{pmatrix}-3&0&0\\-0&-3&0\\0&0&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}

Calcul de An.

En voyant les questions qui te sont posées, la meilleure solution est d'écrire :

D = P-1.A.P <=> A = P.D.P-1 => An = P.Dn.P-1

Or, le calcul de Pn est simple.

Je trouve :

2$\textrm A^n = \fra{1}{3}\begin{pmatrix}2^n+2(-1)^n&2^n-(-1)^n&2^n-(-1)^n\\2^n-(-1)^n&2^n+2(-1)^n&2^n-(-1)^n\\2^n-(-1)^n&2^n-(-1)^n&2^n+2(-1)^n\end{pmatrix}

Posté par
Skops
re : Matrice 01-05-08 à 23:59

Oui j'avais bien trouvé ca
Merci carpediem et raymond

En fait, au début, j'ai dit que A=PDP-1 et j'ai tout passé à l'exposant n alors pour trouver P^n....
Mais en fait, c'est juste un changement de base ^^

Skops

Posté par
raymond Correcteur
re : Matrice 02-05-08 à 00:08

Oui.

J'ai trouvé une autre méthode. On a : A + I = J : matrice dont tous les termes valent 1.

Donc A = J - I.

Comme I commute avec J, la formule du binôme de Newton est possible.

An = (J - I)n

On développe, puis on remarque que pour tout p > 0, Jp = 3p-1.J

On peut donc mettre J en facteur (sauf dans le terme (-1)n.I), puis réappliquer la formule du binôme de
Newton à l'envers sur le coefficient de J.

Bonne fin de soirée.

Posté par
Skops
re : Matrice 02-05-08 à 00:33

Ah, ca me rapelle un truc cette méthode :D

Merci beaucoup raymond

Skops

Posté par
infophile
re : Matrice 02-05-08 à 06:48

Citation :
Ah, ca me rapelle un truc cette méthode


Posté par
raymond Correcteur
re : Matrice 02-05-08 à 09:49

Bonjour.

On peut aussi utiliser le fait que (A+I)(A-2I) = O (polynôme minimal).

1°) On écrit la division euclidienne de Xn par (X+1)(X-2):

Xn = (X+1)(X-2)Q(X) + an.X + bn (I)

2°) En remplaçant successivement X par -1, puis par 2 dans (I), on trouve an et bn.

Enfin, on remplace X par A dans (I)

Posté par
raymond Correcteur
re : Matrice 02-05-08 à 09:50

Erreur de frappe : lire an au lieu de an

sorry !

Posté par
Skops
re : Matrice 02-05-08 à 11:06

Waouu, que de méthodes ^^

Qu'est ce que le polynôme minimal ?

Skops

Posté par
raymond Correcteur
re : Matrice 02-05-08 à 14:17

Soit A une matrice carrée d'ordre n > 0 à coefficients dans K.

Il existe toujours des polynômes P de K[X] tels que P(A) = O (matrice nulle).

Ces polynômes sont tous multiples d'un polynôme de degré minimum p dont le coefficient du terme dominant est 1 (on dit qu'il est normalisé) et tel que p(A) = O.

p s'appelle le polynôme minimal de A.

Cette définition s'applique naturellement à tout endomorphisme u d'un K-ev de dimension finie.

Exemple. Soit u un projecteur non trivial (u différent de O et de Id(E)).

Puisque u² = u, alors p(X) = X² - X est le polynôme minimal de u.

Posté par
Skops
re : Matrice 02-05-08 à 14:53

Merci beaucoup raymond

Skops



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