Forum : analyse :
jauge d'un convexe

bonjour
ce n'est pas pour un exercice en fait j'ai quelque petit problèmes pour comprendre ce qu'est la jauge d'un convexe. J'ai la définition qui dit qu'on appelle jauge d'un convexe la fonction p de E dans {+} définie, pour chaque point de x de E, par:

p(x)=inf{>0 : xC}

avec p(x)=+ si l'ensemble ci dessus est vide

J'ai vu que cela nous servait pour la démonstration de la forme géométrique du théorème de Hahn Banach mais je n'arrive pas à bien comprendre ce que c'est précisément et quelles peuvent être ces autres utilités.

merci d'avance pour votre aide

Bonjour, c'est très simple, c'est une façon de donner dans l'espace ambiant une sorte d'ordre de grandeur d'un vecteur par rapport à la taille du convexe choisi.

Exemple, en dimension 2, choisis pour C le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.

Alors si un point z a un module compris entre 10 et 11, il faudra multiplier par 11 la taille du disque pour englober le point, donc p(z)=11.

Je crois qu'on se sert aussi de cette notion pour montrer le théorème de Banach-Steinhaus et le théorème de Cauchy-Lipschitz.

merci beaucoup j'y vois plus clair avec l'exemple que tu m'as donné c'est vrai quand fait c'est très simple lol merci encore

Avec plaisir.

Rien de tel que de dessiner en maths!

Bonjour,

on s'en sert pour montrer qu'en dimension finie tout compact convexe épais(d'intérieur non vide) est homéomorphe à la boule unité d'une certaine norme et pour Hahn-Banach aussi.

Tigweg tu dis pour Banach-Steinhaus je vois pas trop le lien(ou tu penses à Hahn-Banach?)

Bonjour,

ce sont de simples souvenirs, Cauchy, mais je peux me tromper!

bonjour à tous
je reviens sur cette notion car j'ai toujours des problèmes d'applications ou plutôt pour trouver la fonction en elle même voila un exo que je n'arrive pas à résoudre:
Soit C un convexe défini par :

C={x : max(|x|,|y|)<2}

C={x³: (x²/a²)+(y²/b²)+(z²/c²)<1 ;a,b,c0}

On nous demande de déterminer la fonction jauge de C

J'ai compris l'exemple que Tigweg m'avait donné plus haut donc il faut qu'avec la fontction jauge on puisse englobé c'est deux ensemble mais je vois pas comment faire
Merci d'avance

pour la première définition de C c'est (x,y)² désolé pour la coquille

salut,

j'aurais fait comme ça:

pour le premier convexe, on a













,

et dans le même ordre d'esprit pour trouver la jauge de l'autre convexe.

Par contre j'ai du mal à voir comment on montre que le deuxième est un convexe

Bonjour

Le deuxième est un ellipsoïde (en ces temps de foot faut pas oublier le rugby...) On voit facilement que c'est étoilé par rapport à 0 donc convexe.

Bonjour Camélia,

la définition de "partie étoilée" que je dispose n'entraîne pas la convexité:

Dans un ev normé , une partie est étoilée par rapport à si pour tout , le segment est contenu dans .

Bonjour à tous,

je suis d'accord avec romu.

Par exemple, dans le plan usuel rapporté à un repère orthonormé d'origine 0, si on pose

A(-1;0), B(-1;1), C(0;1), D(1;2), et E(1;0),

alors le pentagone ABCDE est étoilé par rapport à O mais non convexe.

Salut Tigweg,

de retour sur l'île

Bon j'ai trouvé, en fait on vérifie directement la définition de la convexité,
j'ai du me mélanger les pinceaux avant-hier

Salut romu,

oui, de retour!
Ca se vérifie sans doute bien directement en effet, mais je ne l'ai pas fait.
En revanche, je ne comprends pas ce qu'a voulu dire Camélia.

Peut être a-t'elle compris connexe au lieu de convexe

Attendons qu'elle nous le dise elle-même

J'ai dit une grosse bêtise!

la chaine est

convexe étoilé connexe

avec impossibilité de remonter les implications!

Salut Camélia

citation :
J'ai dit une grosse bêtise!

->Ca arrive!