Salut, Voici mon problème

On considère l'espace vectoriel ₂[X] des polynômes de degrés inférieur ou égaux à 2. Soit f une apllication de ₂[X] dans qui à P associe P(1).

1. On note F = Ker(f). Montrer que F est un sous espace vectoriel d ₂[X] et donner sa dimension.

Il faut que : - 0_[sub]2[X][/sub] F , 0_[sub]2[X][/sub]: elem. neutre de ₂[X].
              - (x,y)F², , x+y F et xF.

C'est ma définition de base mais je reste bloquée.

Dimension = cardinal de la famille ?

2. Montrer que (X-1, X²-1) est une base de F.
Base = libre +génératrice

Par def, a(X-1)+b(X²-1)=0 => a=b=0 , alors famille libre
et     , a(X-1)+b(X²-1)=y => famille génératrice
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(1) a(X-1)+b(X²-1)= bX² + aX - (a+b) = 0
= a² + 4ab + 4b²

Apres je ne sais pas comment encheiner pour démontrer que a=b=0 et que c'est génératrice.

3. Soit G le sous-espace vectoriel de ₂[X], engendré par le polynôme (X²+1). Montrer que F et G sont supplémentaires dans ₂[X].

F et G deux sous espaces vect de ₂[X], ils sont supplémentaires si :

FG = { O_[sub]2[X][/sub] }
FG = ₂[X].

Même chose je vois pas comment faire.