Salut, Voici mon problème
On considère l'espace vectoriel 2[X] des polynômes de degrés inférieur ou égaux à 2. Soit f une apllication de 2[X] dans qui à P associe P(1).
1. On note F = Ker(f). Montrer que F est un sous espace vectoriel d 2[X] et donner sa dimension.
Il faut que : - 0[sub]2[X][/sub] F , 0[sub]2[X][/sub]: elem. neutre de 2[X].
- (x,y)F², , x+y F et xF.
C'est ma définition de base mais je reste bloquée.
Dimension = cardinal de la famille ?
2. Montrer que (X-1, X²-1) est une base de F.
Base = libre +génératrice
Par def, a(X-1)+b(X²-1)=0 => a=b=0 , alors famille libre
et , a(X-1)+b(X²-1)=y => famille génératrice
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(1) a(X-1)+b(X²-1)= bX² + aX - (a+b) = 0
= a² + 4ab + 4b²
Apres je ne sais pas comment encheiner pour démontrer que a=b=0 et que c'est génératrice.
3. Soit G le sous-espace vectoriel de 2[X], engendré par le polynôme (X²+1). Montrer que F et G sont supplémentaires dans 2[X].
F et G deux sous espaces vect de 2[X], ils sont supplémentaires si :
FG = { O[sub]2[X][/sub] }
FG = 2[X].
Même chose je vois pas comment faire.
salut
dim =< card (famille) et = card(famille) si ta famille est libre
tu appliques le THE du rang
mais tu peux remarquer que X-1 et X²-1 sont dans F et que les constantes n'y sont pas (et que ces deux vecteurs sont libres pour des raisons de degré)
pour la somme directe montre qu'une combinaison linéaire de tes trois vecteurs est nulle ssi tes coef sont nuls donc que l'intersection est 0
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