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Equation diophantienne (spécial dédicace pour Simon92)

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et  

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Tout ce que je peux dire c'est que tu connais la méthode

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: ok. Mais de là à en déduire que , il y a un fossé que, personnellement, je ne franchirais pas . D'ailleurs si tu pouvais déduire ça, tu pourrais t'arrêter tout de suite vu que n'est pas un cube...

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1) si abc=0 on déduit a=b=c=0; on suppose dans la suite abc0.
2) si t³ divise p on peut remplacer (p,a,b,c) par (p/t³,a,tb,t²c); dans la suite on suppose p non divisible par t³, t>1.
3) si d=pgcd(a,b,c)>1 on peut tout diviser par d³; dans la suite on suppose pgcd(a,b,c)=1.
4) soit q premier divisant p: q|a³ donc q|a, d'où q²|pb³.
si q ne divise pas b alors q²|p donc q³|pb³, donc q³|p: contradiction;
par suite, q|b et donc q ne divise pas c.
q³|p²c³ donc q²|p d'où q⁴|a³, d'où q²|a, d'où q⁵|p²b³ donc q³|p: contradiction.
La seule solution dans Z est donc (0,0,0).
5) remarque: si on avait p=q³ alors a³+(qb)³+(q²c)³-3a(qb)(q²c)= 1/2(a+qb+q²c) ((a-qb)²+(qb-q²c)²+(a-q²c)²) d'où les solutions:
soit a+qb+q²c=0
soit a=qb=q²c