Forum : produit scalaire :
Barycentre: démonstrations

Il s'agit de la fin d'un exercice sur les complexes avec: za= -1 ; zb= 2 + i3 ; zc= 2 - i3 et zg= 3.

Soit (D) l'ensemble des points M du plan tels que: (-MA + 2MB + 2MC).CG = +12.
(il s'agit bien sûr de VECTEURS dans tous l'exercice mais je ne sais pas comment faire apparaître les flèches au dessus)

a/ Montrer que G est le barycentre du système des points pondérés {(A,-1) ; (B,2) ; (C,2)}. (1)

b/ Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation GM.CG = -4. (2)

c/ Vérifier que le point A appartient à l'ensemble (D).

d/ Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation AM.GC=0.

e/ En déduire l'ensemble (D) et le tracer.

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a/ -1+2+20 donc il existe un unique point J barycentre des points pondérés (A,-1) ; (B,2) ; (C,2).
Il faut démontrer que J=G mais comment?

b/ ?

c/ Si A (D) alors (-AA + 2AB + 2AC).CG = +12. AA est-il un vecteur nul?

d/ ?

e/ ?

G est le barycentre du système des points pondérés {(A,-1) ; (B,2) ; (C,2)}
<=> 3MG = -MA + 2MB + MC

C'est la définition du cours !

...

pardon. c'est :

3MG = -MA + 2MB + 2MC

...

Oui mais le problème ici et de démontrer que G est le barycentre et non un autre point
Cela pourrait être 3Mtartanpion = -MA + 2MB + 2MC.

en effet. J'avais pas vu le zG

za= -1 ; zb= 2 + i3 ; zc= 2 - i3 et zg= 3.

Montrer que G est bary de {(A,-1) ; (B,2) ; (C,2)}
cad que 3MG = -MA + 2MB + 2MC
revient à montrer que 3zG = -zA + 2zB + 2zC

...

Merci beaucoup c'était ça qu'il me manquait.

Et pour le reste,
b/ montrer que (1) est équivalente à la relation GM.CG = -4.
Je ne vois pas du tout quoi faire...

c/  Si A (D) alors (-AA + 2AB + 2AC).CG = +12.
alors il faut juste montrer que (2AB + 2AC).CG = +12. C'est bien ça?

Et pour le reste,
b/ montrer que (1) est équivalente à la relation GM.CG = -4.
Je ne vois pas du tout quoi faire...

bah, si quand même : 3MG = -MA + 2MB + 2MC

...

Autant pour moi , c'était très simple même pour moi!

A appartient à (D) ssi  GA.CG = -4

...

Coordonnées vecteurs: GA (-4,0) et CG (1, i3)

donc GA.CG = -4*1 + 0*i3 = -4 donc A appartient à (D).

Montrer que GM.CG = -4 équivaut à AM.GC = 0

-AM.CG =  0 mais après ...

GM.CG = -4
<=> (GA + AM) . CG = -4
<=> (GA . CG) + (AM . CG) = -4
or GA.CG = -4
<=> -4 + (AM . CG) = -4
<=> AM . CG = 0
<=> AM . GC = 0

...

Je te remercie, c'était la première fois que j'utilisais ce genre de forum et tu m'as été d'un grand secours Merci encore.