Forum : les nombres :
probleme de math

Bonjour,
un probleme de math, que je n'arrive pas a resoudre.

Puissance 2000

Le but de cet exercice est de determiner combien de chiffres sont nécessaire pour écrire 2000^2000 sans utiliser de puissance.

1.  A l'aide d'une calculatrice? déterminer un entier a tel que
a x 10^74 < 2^250 < (a+1) x 10^74

2. En déduire un encadrement de 2^2000 sous la forme
b x 10^601 < 2^2000 < c x 10^601 avec b et c entiers.

3. Utiliser ce qui précede pour determiner combien de chiffres sont nécessaires pour écrire la valeur exacte de 2000^2000

4. A raison de 2 mm par chiffre et d'un saut de 1 mm tous les trois chiffres, quelle serait la longueur de l'écriture de ce nombre?



Merci d'avance et bon courage

Bonjour,

1)
Tu n'as pas de calculatrice ?
On a 2²⁵⁰ ≈ 1,81.10⁷⁵ = 18,1.10⁷⁴
Donc 18.10⁷⁴ < 2²⁵⁰ < 19.10⁷⁴

2)
Indice : 2²⁰⁰⁰ = 2^8*250 = [2²⁵⁰]⁸

merci marcel, j'ai trouvé jusque là mais je ne suis pas sur du reste pas pour le calcul de la troisiéme et quatriéme mais pour le résultata de la deuxiéme question. Si tu peux la developper  cela m'arrange, merci encore. salut

2)
On a 18.10⁷⁴ < 2²⁵⁰ < 19.10⁷⁴
Donc [18.10⁷⁴]⁸ < [2²⁵⁰]⁸ < [19.10⁷⁴]⁸
Donc 18⁸.[10⁷⁴]⁸ < 2^8*250 < 19⁸.[10⁷⁴]⁸
Donc 18⁸.10^8*74 < 2²⁰⁰⁰ < 19⁸.10^8*74
Donc 11019960576.10⁵⁹² < 2²⁰⁰⁰ < 16983563041.10⁵⁹²
Donc 11000000000.10⁵⁹² < 2²⁰⁰⁰ < 17000000000.10⁵⁹²
Donc 11.10⁶⁰¹ < 2²⁰⁰⁰ < 17.10⁶⁰¹

encore merci marcel tu m'enleves une épine du pied.