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Sujet STI La Reunion 2007

Bonjour, Quelqu'un aurait la correction de ce exercice:

Partie A : étude d'une fonction auxiliaireg
On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
g (x) = 1+x(1+lnx)
où ln désigne le logarithme népérien.
1. On désigne par g ′ la fonction dérivée de la fonction g .
Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[, on a :
g ′(x) = 2+lnx.
2. Étudier le signe de g ′(x) sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
En déduire les variations de la fonction g sur cet intervalle.
3. Calculer la valeur exacte duminimumde la fonction g sur l'intervalle ]0 ; +∞[,
puis en donner la valeur décimale arrondie au dixième.
4. En déduire le signe de g (x) sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
Partie B : étude de la fonction f
Le plan P est rapporté au repère orthonormal ³O, −→ı , −→ ´ d'unité graphique 2 cm.
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par
f (x) = (x +1) lnx
et C sa courbe représentative dans le plan P .
1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞?
b. Déterminer la limite de la fonction f en 0. Donner une interprétation
graphique du résultat.
2. On désigne par f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
a. Montrer que, pour tout x strictement positif,
f ′(x) =
g (x)
x
b. En utilisant le résultat obtenu dans la partie A, question 4, dresser le tableau
de variations de la fonction f .
3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection A de la courbe C avec
l'axe des abscisses.
4. Montrer que l'équation f (x) = 1 admet une solution unique, notée α, dans
l'intervalle [1 ; 2].
Donner la valeur décimale arrondie au dixième du nombre réel α.
5. Tracer dans le plan P la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle
[0 ; e].
La Réunion 3 juin 2007
Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique
Partie C : calcul d'une aire
On considère la fonction F définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[ par :
F(x) = µx2
2 +x¶(lnx −1)+
x2
4
.
1. Montrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle
]0 ; +∞[.
2. a. Hachurer, sur le graphique obtenu dans la partie B, la partie E du plan, limitée
par la courbe représentative de f , l'axe des abscisses, et les droites
d'équations respectives x = 1 et x = e.
b. Déterminer la valeur exacte de l'aire de la partie E en cm2.

Merci

bonjour

tu peux donner TES résultats et développements pour qu'on te corrige/aide...

Déjà:

1. On désigne par g ′ la fonction dérivée de la fonction g .
Montrer que pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; +∞[, on a :
g ′(x) = 2+lnx.

J'ai développé: 1+x(1+lnx)

Est-ce sa ?

tu veux dire :

J'ai dérivé : 1+x(1+lnx) ?

Oui mais en dérivant j'ai:

1+x(1+lnx)

donc 1+x => 1 (ensuite on y ajoute le 1 de (1+lnx)

ce qui donne 2+lnx

bien sa ?

non

(1)' = 0

x(1+lnx) est de la forme uv

et ( uv )' = u'v + v'u

tu essaies ?

u= x            v= 1+lnx

u'= 1           v'= 1/lnx

bien sa ?

non

quelle est la dérivée de ln(x) ?

_{au fait, on écrit " ça "}

Oui autant pour moi :d

en effet erreur de frappe, c'est v'= 1/x

Avez vous MSN ? ou autre ? pour en discuter sa serait plus facile je pense

désolé, pas de msn

par contre n'hésite pas à proposer tes résultats...

Donc, u'v + v'u

donne:
1*(1+lnx) + 1/x*x
1+lnx+1
2+lnx

Ensuite

2. Étudier le signe de g ′(x) sur l'intervalle ]0 ; +∞[.
En déduire les variations de la fonction g sur cet intervalle.

J'ai ceci:

Bonsoir,

Tu passes vraiment le bac le mois prochain ?

Bon, très succinctement :

Partie A

g(x) = 1+x[1+ln(x)]
D_g = ]0;+∞[

1)
g'(x) = 1+ln(x) + x*(1/x) = 1+ln(x) + 1 = 2+ln(x)
2)
g'(x) = ln(x)+2 = ln(x)-(-2) = ln(x)-ln(1/e²) est du signe de x-(1/e²) (car ln est croissante sur ]0;+∞[)
Donc g' est strictement négative sur ]0;1/e²[, nulle en 1/e² et strictement positive sur ]1/e²;+∞[
Donc g est strictement décroissante sur ]0;1/e²] et strictement croissante sur [1/e²;+∞[
3)
La minimum de g sur ]0;+∞[ vaut g(1/e²) = 1-(1/e²) ≈ 0,9
4)
g(x) ≥ g(1/e²) > 0 pour tout x ]0;+∞[

Partie B

f(x) = (x+1)ln(x)
D_f = ]0;+∞[

1)
lim _+∞ f = +∞
lim ₀₊ f = -∞ donc la droite d'équation x = 0 est asymptote verticale à C
2)
f'(x) = ln(x) + (x+1)/x = ln(x)+1+(1/x) = (1/x)+1+ln(x) = [1+x(1+ln(x))]/x = g(x)/x > 0 pour tout x ]0;+∞[
Donc f est strictement croissante sur ]0;+∞[
3)
A(1;0)
4)
Utilise le théorème des valeurs intermédiaires avec f(1) = 0 < 1 et f(2) = 3ln(2) > 1
A l'aide de la calculatrice, on trouve α ≈ 1,5

Partie C

F(x) = illisible ...
D_F = ]0;+∞[

1)
F'(x) = ... = f(x) donc F est une primitive de f sur ]0;+∞[
2)
Aire = ∫ (1 à e) f(x) dx = F(e)-F(1) = ... unités d'aire, sachant qu'une unité d'aire vaut 4 cm²