distance point - droite

Posté par littlefleabass littlefleabass

Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice (d'analyse fonctionnelle):

Soient (²,||.||₁),(²,||.||₂),(²,||.||) trois espaces normés.

Trouver la distance entre la droite y=-2x+2 et le point (1,1) dans chacun de ces espaces.

J'ai fait du gros bidouillage donc je pense que c'est pas bon:

Soit D la droite définie par y=-2x+2, on a d((1,1),D)=inf_(x,y)D||(x,y)-(1,1)|| pour ||.|| égale à une des trois normes données, donc:

d((1,1),D)=inf_(x,y)D||(x-1,y-1)||=inf_x||(x-1,-2x+1)||

Et ensuite j'applique ce résultat avec les trois normes données et je "vois" que la distance vaut 1/2 (en prenant x=1/2) pour les trois normes.

J'imagine que ce n'est pas comme ça qu'il faut faire, avez vous une méthode à me proposer?
Merci!

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

C'est bien comme ça qu'il faut faire, mais je doute que tu trouves le même résultat les trois fois!

Posté par littlefleabass littlefleabass

J'ai du faire une erreur:

avec ||.||₁:

d((1,1),D)=inf_x(|x-1|+|-2x+1|)=1/2

avec ||.||₂:

d((1,1),D)=inf_x(|x-1|²+|-2x+1|²)^1/2=1/2

avec ||.||:

d((1,1),D)=inf_x(max(|x-1|,|-2x+1|))=1/2

Ce n'est pas bon?

Posté par Camélia Camélia

Pour x=2/3 on a |x-1|=1/3 et |2x-1|=1/3, donc pour la norme infinie, c'est strictement plus petit que 1/2 (je pense que c'est 1/3)

Pour la norme euclidienne, j'aurais attendu une racine, mais je ne l'ai pas écrit!

Posté par romu romu

Bonjour, pour ma part,

je trouve bien pour la norme 1, mais après je trouve pour la norme 2, et pour la norme sup.

Posté par littlefleabass littlefleabass

ah oui ok
mais en fait vous trouvez ça comment, par tatonements? ou vous faites une étude de fonctions?

Posté par Camélia Camélia

Il faut étudier les fonctions. (J'ai triché, j'ai fait marcher sinequanon)

Coucou romu

Posté par romu romu

oui, tu peux faire par l'étude d'une fonction , et donner une expression de plus explicite.

Pour la norme 2, on peut prendre un vecteur directeur de ,
et trouver pour quelle valeur de ,   est orthogonal à .

Posté par littlefleabass littlefleabass

ok c'est tout bête en fait
merci

Posté par romu romu

c'est quoi sinequanon?

Posté par Camélia Camélia

Sinequanon est un excellent logiciel de tracé de courbes (gratuit et dû à Patrice Rabiller, un de nos membres).

Posté par romu romu

ok