Suites

Posté par G-ri G-ri

Bonjour, pourriez-vous m'aider a resoudre cet exercice ?

Soit S la suite definie pour n1 par S_n = xⁿe^-t dt.

1) Donner une justification de l'integrale qui définit S_n.
2) Démontrer que pour tout entier n1, S_n0.

Je n'ai pas compris la premiere question et pour la deuxieme je crois qu'il faut faire une démonstration par récurrence mais je suis bloqué apres avoir calculé S₁ = -2e^-1+1

Merci de m'aider

Posté par disdrometre disdrometre

salut

1)  la question peut se traduire par :

montrer que pour tout n, le terme u_n est défini..

Posté par G-ri G-ri

Pardon j'ai oublié un mot
en fait c'est "donner une justification de l'existence de l'integrale qui definit S_n"

Posté par disdrometre disdrometre

une intégrale de f(x) existe sur I (intervalle borné de R), si f(x) est continue sur I..

Posté par G-ri G-ri

mais il existe aussi des integrale pour les fonctions non continues non ?

Posté par disdrometre disdrometre

oui, mais ce n'est pas vu au lycée,

mais pour le lycée, il faut vérifier que f est continue sur I

Posté par G-ri G-ri

ah d'accord et pourriez-vous m'aider pour la 2eme question s'il vous plait ?

Posté par disdrometre disdrometre

quel le signe  de sur [0,1] ?

Posté par G-ri G-ri

je ne sais pas...

Posté par G-ri G-ri

donc xⁿe^-x>0 sur [0;1]

Posté par G-ri G-ri

c'est tout ?

Posté par G-ri G-ri

donc S_n>0 ?

Posté par disdrometre disdrometre

oui !

Posté par G-ri G-ri

ensuite on me dit d'exprimer S_n+1 en fonction de S_n donc par la methode d'integration poar partie, je trouve S_n+1 = -e^-1+(n+1)S_n et je doit montrer que pour tout n1 que S_n1/(ne)
Comment Faire ?

Posté par G-ri G-ri

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Posté par G-ri G-ri

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Posté par disdrometre disdrometre

ben intègre par parties !

Posté par G-ri G-ri

comment ça ?

Posté par G-ri G-ri

comment montrer que S_n1/(ne) ?

Posté par disdrometre disdrometre

récurrence ...

Posté par G-ri G-ri

mais je n'arrive pas apres S₁ = -2e^-1+1

Posté par disdrometre disdrometre

donc c'est vrai à l'ordre 1  non ?

Posté par G-ri G-ri

oui et ensuite je n'arrive pas a demontrer

Posté par disdrometre disdrometre

Suppose que c'est vrai jusqu'au rang p

il faut que tu montres que S(p+1) < 1/(p+1)e  sachant que Sp < 1/pe  et S(p+1) = -(1/e)+(p+1)Sp

Posté par G-ri G-ri

(-1/e)+(p+1)Sp < 1/((p+1)e) et apres ?

Posté par G-ri G-ri

je n'arrive pas a retrouver S(p+1) < 1/(p+1)e

Posté par G-ri G-ri

je tombe tout le temps sur S(p+1)<1/(pe)

Posté par G-ri G-ri

pourriez-vous m'aider ?

Posté par G-ri G-ri

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Posté par disdrometre disdrometre

c'est vrai il y a pb !!

donne l'énoncé complet, pour voir..

Posté par G-ri G-ri

en fait c'est

a) a l'aide de la méthode d'intégration par partiesn exprimer S_n+1 en fonction de S_n
b) Démontrer que pour tout entier n1, S_n1/(ne)
c) En déduire la limite de la suite S.

Posté par G-ri G-ri

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Posté par G-ri G-ri

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Posté par G-ri G-ri

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Posté par disdrometre disdrometre

j'ai pas trouvé,

mets le détail de l'intégration par parties..

Posté par G-ri G-ri

je pose u(x)=xⁿ⁺¹ donc u'(x)=(n+1)xⁿ
et v'x)=e^-x donc v(x)=-e^-x

donc
S_n+1=[-xⁿ⁺¹e^-x](n+1)xⁿe^-xdx
S_n+1=-e^-1+(n+1)S_n

Posté par G-ri G-ri

Sn+1=[-xⁿ⁺¹e^-x]+(n+1)xⁿe^-xdx
S_n+1=-e^-1+(n+1)S_n

Posté par G-ri G-ri

bon, ce n'est pas grave pourriez-vous m'aider alors pour la derniere question  ?

Posté par disdrometre disdrometre

0 < Sn < 1/ne  inégalités larges, théorème des gendarmes ....

Posté par G-ri G-ri

Ok Merci Beaucoup pour votre aide !!! et pour votre patience !!!

Posté par disdrometre disdrometre

de rien

Posté par Marcel Marcel

Bonsoir,

a)
S_n+1 = ∫ (0 à 1) tⁿ⁺¹.e^-t dt
On intègre par parties :
S_n+1 = [-tⁿ⁺¹.e^-t] (0 à 1) + (n+1).∫ (0 à 1) tⁿ.e^-t dt = -e^-1 + (n+1).S_n

b)
tⁿ⁺¹ ≤ tⁿ pour tout t [0;1]
Donc ∫ (0 à 1) tⁿ⁺¹.e^-t dt ≤ ∫ (0 à 1) tⁿ.e^-t dt
Donc S_n+1 ≤ S_n
Donc S_n+1-S_n ≤ 0
Donc -e^-1+(n+1)S_n-S_n ≤ 0
Donc -e^-1+nS_n ≤ 0
Donc nS_n ≤ e^-1 = 1/e
Donc S_n ≤ 1/(ne)

Posté par disdrometre disdrometre

bien vu Marcel

Posté par G-ri G-ri

Bonsoir Marcel Mais je ne comprends pas pourquoi tⁿ⁺¹ ≤ tⁿ pour tout t  [0;1]

Posté par Marcel Marcel

Parce que tⁿ-tⁿ⁺¹ = tⁿ(1-t) ≥ 0 pour tout t [0;1]

Posté par G-ri G-ri

Ah d'accord merci beaucoup a tous les deux !

Posté par G-ri G-ri

et pourriez-vous me dire si cette suite est croissante ?

Posté par G-ri G-ri

car je trouve tⁿe^-t(t-1)dt=S_n+1-S_n

Posté par Marcel Marcel

Relis mon message de 22h28 : on a S_n+1-S_n ≤ 0
Donc la suite S est décroissante