Integrale et suite

Posté par Marie16 Marie16

voilà j'ai un exercice et je bloque un peu à une question
voici l'énoncé:
f(x) = x/(x+1) sur [0;+[
C sa courbe representative ...
la suite (Un) définie sur N :
Un = f(t)dt avec a=0 et b=n
on nous demande de demontrer que la suite est croissante, ça c'est ok
et ensuite on doit pourver que pour tout n entier et superieur ou egale à 1 : Un > (n-1)/2
Alors là j'ai commencer une recurrence et je bloque à l'hérédité (transmissibilité) on a supposé P(n) vraie cad Un > (n-1)/2
et on sait que U(n+1) > U(n)
donc je calcule l'integrale de U(n) (est ce utile?) et l'integrale de U(n+1) moi j'avais pensé aussi à montrer que U(n+1) - n/2 >0 grace aux limites (en développant). Je sais pas si vous voyez à peu pres ce que je veux dire? Si quelqu'un peu m'aider et me donner ses idées ça serait super.
merci

Posté par mikayaou mikayaou

bonjour à toi aussi

x/(x+1) = (x+1 - 1)/(x+1)

Posté par Marie16 Marie16

oui bonjour ^^
je comprend pas vraiment à quoi ça peut nous servivre cette egalité :s
U(n) = n - ln(n+1) quand on calcule l'integrale

Posté par mikayaou mikayaou

une façon de faire est d'analyser la fonction f(x) = x-ln(x+1)

elle est croissante,, f(1) = 1 - ln2 qui est positif et f'(1) = 1/2 donc la tgte à (C) en x=1 est au dessus de la droite x/2 - 1/2

ainsi, pour tout x>=1, f(x) est au-dessus de (x-1)/2

et donc Un > (n-1)/2

A vérifier

Posté par dhalte dhalte

Autre méthode, sans passer par le calcul explicite :
Pour x>1, on a x/(x+1)>1/2, alors

Posté par Marie16 Marie16

merci pour vos reponses
enfin de compte je n'avais pas besoin de faire une recurrence