barycentres et produit scalaire

Posté par mc_13 mc_13

Voila qq petits exos que j'ai a faire pr vendredi .. J'bloque sur certaines questions ..

N°1

Dans le plan P , soit ABC un triangle équilatéral de coté 2. On désigne par I le milieu de [BC] et H son projeté orthogonal sur (AC ).

1/ Montrez que H est le barycentre des pts pondérés (A,1) ,  (C,3).

2/ En déduire une construction du barycentre G des pts (A,1) (B,2) (C,5).
J'ai trouvé AG= 1/4 AB + 5/8 AC, est ce bon ?

3/On considère l'ensemble Jk des pts M du plan qui vérifient:
MA²+2MB²+5MC²=k,
où k est un réel donné tel que C appartient a Jk.
Déterminer le réel k et la nature de l'ensemble Jk en précisant

Merci  d'avance

Posté par dhalte dhalte

Triangle équilatéral, tu connais les angles, donc tu peux calculer la longueur CH. Et aussi la position de H sur la droite (AC), donc en déduire la valeur du vecteur en fonction de et revenir sur la définition du barycentre pour montrer que H la vérifie bien.

Posté par pgeod pgeod

bonjour,

1/ dans le tiangle CHI rectangle en H ; CH = CB/2 * cos(pi/3) = CB/4 = CA/4
d'où l'on déduit car C, H et A sont alignés dans cet ordre :
4CH = CA
<=> 4CH - CH - HA = 0
<=> 3CH + AH = 0
d'où la conclusion

2/ G bary des pts (A,1) (B,2) (C,5).
<=> G bary des pts (A,1) (C, 3) (B,2) (C,2).
........ utilise l'associativité des barycentres

...

Posté par dhalte dhalte

Salut pgeod. Pour ma part, je trouve que c'est bien de donner des pistes sans filer immédiatement la solution. Qu'est-ce que tu en penses ?

Posté par mc_13 mc_13

oui c'est clair merci pour les pistespar contre est-ce-que vous pourriez m'aider pour la dernière s'il vous plait merci de votre patience.

Posté par pgeod pgeod

bonjour dhalte.
Je suis aussi de cet avis, même si, pour une fois, je suis aller un peu
plus loin que toi, dans les pistes (nos posts se sont croisés, et j'ai
posté sans connaître le contenu du tien). Tu remarqueras que j'ai
donné la résolution quasi complète de la 1° question et ébauché
seulement le début de la 2°.
Après, c'est une question d'appréciation quand on répond au tout 1° post
du demandeur. Je ne suis de toute façon pas partisan de balancer la
solution toute crue de tout l'exercice.

...

Posté par mc_13 mc_13

tout à fait d'accord et merci pour ton aide elle a été bénéfique mais pourrais-tu encore me pister pour la dernière question s'il te plait. c'est gentil. Merci beaucoup.

Posté par pgeod pgeod

pour la 3/

MA²+2MB²+5MC²=k,
<=> (MG + GA)² + 2 (MG + GB)² + 5 (MG + GC)² = k,
........... à développer, puis à simplifier

...

Posté par mc_13 mc_13

merci merci vraiment. Promis c'est la dernière fois que je vous embete mais jarrive à
8MG²+GA²+2GB²+5GC²=k mais comment trouver sa valeur??? merci encore

Posté par pgeod pgeod

Re :

8MG²+GA²+2GB²+5GC²=k
<=> MG² = [k -(GA²+2GB²+5G)] / 8

Si ABC est équilatéral, GA = GB = GC

Ensuite, on peut exprimer GA en fonction du côté qui vaut 2

on peut donc obtenir une relation : MG² = a (k - b)

Ensuite, il faut discuter en fonction de la valeur k

Pour qu'il existe un ensemble de points M, il faut que a (k - b) 0

...

Posté par mc_13 mc_13

merci encore
dc jarrive à MG²=(1/8)*(k-36) avec k>=36
mais l'ensemble je pense que c'est un cercle de centre G mé jsui pa sure aidez moi svp encore une dernière foi merci!!

Posté par pgeod pgeod


SI MG² = K avec K < 0, alors
SI MG² = K avec K = 0, alors M = G
SI MG² = K avec K > 0, alors cercle de centre G et de rayon K

...

Posté par mc_13 mc_13

merci bcp de votre aide