Forum : exponentielle logarithme :
déterminer la limite suivante lim x²ln(x) quand x-->0+

Salut,

Il s'agit d'un exercice dont je ne comprend pas un détail dans la correction.

Enoncé ; déterminer la limite suivante lim x²ln(x) quand x-->0+

Correction ;
lim x quand x-->0 = 0  et lim ln(x)quand x-->0+ = -
on est donc dans le cas indéterminé de la limite d'un produit.
Pour lever l'indétermination, on pose X = 1/x
Donc lim X quand x-->0+ = + et x = 1/X
(explication pour x=1/X ; à partir de X=1/x on a xX=1, et x=1/X)
D'autre part : x²ln(x) = (1/X)²ln(1/X) = (1/X)²(-ln(X) )= -ln(X)/X²
Or lim ln(X)/X² quand x-->+ = 0

Voici ce que je ne comprend pas ;

Donc : lim x²ln(x) quand x-->0+ = lim -ln(X)/X² quand X-->+ = 0

Merçi pour votre attention

bonsoir

réponse pour donner une explication:

le changement de variable x=1/X permet de passer d'une limite en 0+ à une limite en +oo car limX=+oo lorsque tend vers 0+.
Ceci vient de la limite de composé de fonction: f(x)=f(1/X)=fog(X) avec g(X)=1/X
donc limf(x) en 0+=limfog(X) en +oo

comme f(X)=-LnX/X² et limLnX/X=0+ en +oo et lim (1/X)=0+ en +oo
donc limf(x)=lim(-LnX/X)(1/X)=0+*0+=0+
donc limf(x)=0+ lors que x tend vers 0+

Directement sans changer de variable:

f(x)=x²Lnx=x*(xLnx)
or lim(xLnx)=0+ en 0+ donc limf(x)=0+*0+=0+

J'ai tout compris
Comme j'ai du faire le brouillon suivant pour comprendre, je le laisse sur la toile.

On a :
f(x)= x²ln(x) = -ln(X)/X² or par definition, lim ln(X)/X² en +oo = 0
g(X)=1/X
fog(X)=(1/X)²ln(1/X)

On cherche lim fog(x) en 0+.
Selon le théorème de limites des fonctions composés, pour obtenir ce que l'on cherche, il faut faire ;
si lim g(X) en 0+ = +oo et lim f(x) en +oo = 0, alors
lim fog(x) en 0+ = 0

Nice ! merçi à toi.