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Officiel de la Taupe 188b

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En faisant varier a de -1000 à 1000, on "voit que" l'équation P(x)=0 n'admet que deux solutions réelles.

Posons et les deux solutions réelles distinctes de (e) : P(x)=0

Je pose où a est le même a sur lequel on cherche une condition.

Lorsque , on a

Or par la procédure

citation :
>restart;with(plots):L:=[]: >P:=x->15*x^4+5*x^3-a*x^2+3*x-5; > for a from -500 to 500 by 1 do     s:=fsolve(P(x)):     e:=abs(evalf(s[1]+s[2])):     L:=[op(L),[a,e]]: od: > plot(L);

La courbe représentative de f est :

Ce qui me laisse à penser que f n'admet pas de zéros ...

Il apparaît que :   (la limite de f en serait un beau problème en lui-même, non ?)

Donc il n'existe pas de a tel que P admette deux racines opposées

Je pense donc m'être trompé, mais je ne vois pas où.

NB: Dans l'officiel de la Taupe n°14, l'énoncé est :

citation :
Avec Maple : soit . Trouver a tel que P ait une racine triple et donner ses racines.

...

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Les deux racines opposées de P ne sont pas obligatoirement réelles, elles peuvent être complexes. Donc, il n'y a pas de faute dans l'énoncé.
Enfin, a n'est pas obligatoirement entier.


Ceci dit, ce serait un défi intéressant que de montrer que, lorsque a est réel, P admet toujours 2 racines réelles et de déterminer la limite de la somme de ces deux racines. Je vais y réfléchir.

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P a 2 racines opposées ssi on peut factoriser x²+b d'où P(x)=15x⁴+5x³-ax²+3x-5=(x²+b)(15x²+5x+c) donc b=3/5 (coefficient de x), c=-25/3 (terme constant) et a=-2/3 (coeff de x²).
Les racines s'en déduisent aisément.

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P(x)=0 s'écrit g(x)=a avec qui s'étudie facilement: le numérateur de g'(x) est strictement positif (pas de racine réelle avec Maple) donc g réalise une bijection de sur R et de sur R.
P a donc bien une racine négative x₁ et une positive x₂.
Comme au voisinage de l'infini on a g(x)=15x²+5x+o(1/x) on déduit que x₁ et x₂ sont très proches des racines de 15x²+5x=a quand a tend vers donc la limite de x₁+x₂ est égale à -1/3.
Quand a tend vers il est immédiat que x₁ et x₂ tendent vers 0.

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Puisque p admet deux solutions opposées, il est divisible par un polynôme  x^2-b. Je demande à Maple de calculer le reste dans la division de p par un polynôme x^2-b qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1. Puisque x^2-b divise p, les coefficients de ce reste doivent être nuls, je demande à Maple de résoudre le système associé, ce qui permet de touver a et b. La fin est facile à comprendre.

> p:=15*x^4+5*x^3-a*x^2+3*x-5:
> rem(p,x^2-b,x,'q');

                                                
                  

> solve({3+5*b=0,-5-b*a+15*b^2=0});

                         {a = -2/3, b = -3/5}

> a:= -2/3:
> solve(p=0);
Pas trop envie ici de recopier l'affichage Maple, qui ne passe pas bien
            

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en effet en utilisant  les relations entre les racines et les coefficients j'avais trés facilement trouvé que le produit des racines opposées est -3/5,ensuite je divise par (x²+3/5)
mais c'est moins astucieux que la methode de Jarny

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Tu confonds jandri avec là où j'habite

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je ne comprends rien à ce que tu racontes
je viens de remonter j'ai compris mais je ne savais pas que tu habitais cette localité et puis jandri,jarny ça rime