Forum : nombres complexes :
Polynôme

Bonjour !
Je dois absolument finir ça ce soir sinon c'est trop tard ^^
Seulement j'y arrive pas lol.
Voilà l'énoncé :

Soit P un polynôme du troisième degré vérifiant les propriétés suivantes : P(0) différentde 0 et P(1) = 8
P admet au moins une racine réelle et au moins une racine non réelle.
Si z est une racine, alors zbarre aussi, 1/z aussi et z^3 aussi.

Déterminer un ploynôme P vérifiant ces conditions. Est-il unique ?

bonsoir

tu commences par écrire la forme complexe de ton polynome:
P(z)=az^3+bz²+cz+d
et tu traduis les conditions que doit vérifier P

P(0)=d non nul donc d est non nul
P(1)=a+b+c+d=8
z z zbarre racines donc a,b,c et d sont des réels
1/z racine donc P(1/z)=a/z^3 + b/z² +c/z + d
                      =(1/z^3)(a+bz+cz²+dz^3)=0
a+bz+cz²+dz^3=0
az^3+bz²+cz+d=0
az^9+bz^6+cz^3+d=0
tu continues

Hum...u polynôme du degré 9...je ne vois pas en quoi ça m'aide lol.

Voilà les conclusions auquelles j'avais abouti :

3ème degré=> 3racines
P en a apparament 4 donc au moins deux sont égales => 6 cas (z=1/z,...)
=> Mais là je ne sais plus quoi faire ^^

Au moins une racine complexe et une réelle, trois formes possibles de factorisation, avec C un complexe et R un réel :
(x-C)(x-Cbarre)(X-R)
(X-C)²(x-R)
(X-R)²(X-C)

Les deux premières solutions sont impossibles car sinon les coefficients du polynôme ne seraient pas réels...
=> Encore bloqué :p

c'est intéressant continues et n'oublies pas que si z est racine zbarre est racine

Pour i ça marche car z=i, 1/z=-i, zbar=-i, z^3=-i
On a alors P(x) = (x+i)(x-i)(x-R)
Donc P(x) = x^3-Rx²+x-R
P(1)=8 donc R=-7/2

On à donc le polynôme et ses racines.

Mais comment démontrer qu'il est unique ?
Et quelle était ta méthode ?