Forum : nombres complexes :
Triangle louche ^^

Bonjour !
J'ai cet exercice à résoudre pour demain mais je n'y arrive pas ^^

Voici l'énoncé :
Soit (O,I,J) un repère orthonormal.
Existe t-il un triangle équilatéral OAB tel que A et B aient des coordonnées entières ?
Indication : racine(3) est un nombre irrationnel.

Dûr dur

bonsoir

OAB triangle équilatéral direct ssi b=exp(iPi/3)a  où b=affixe de B eta=affixe de A

xB+iyB=(1/2+iV3/2)(xA+iyA)
      = (xA/2-yAV3/2)+i(xAV3/2+yA/2)
ssi
2xB=xA-yAV3 et 2yB=xAV3+yA
ssi
(xA-2xB)=yAV3 et (2yB-yA)=xAV3

si xA,yA , xB et yB sont des entiers

donc V3=(xA-2xB)/yA serait un rationnel =p/q avec p et q premiers entre eux
donc 3=p²/q²
donc p²=3q²
donc 3 divise p²
comme 3 est premier donc 3 divise p donc p=3p'
donc 9p'²=3q² donc 3p'²=q²
donc 3 divise q²
comme 3 est premier donc 3 divise q
ce qui est en contradiction avec p et q premiers entre eux

donc un tel triangle équilatéral n'existe pas

30 bonnes secondes pour capter que c'était les affixes des deux points lol.

Bah merci beaucoup !
Mais je pense qur l'on pourrait s'arrêter à => "donc V3=(xA-2xB)/yA serait un rationnel" car V3 est par définition un irrationnel !
On est d'accord ?

Complètement d'accord si tu n'a pas à démontrer que V3 est irrationnel

Yop c'est donné dans l'énoncé
Suuper Waatik !
Remerci !

(et merci aussi pour l'indication sur l'autre sujet qur lequel je planche en ce moment même )