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Optimisation Non linéaire sous contraintes d'inégalité linéaires
Bonjour, bonsouar
Est ce qu'une âme charitable pourrait me donner une piste concernant ce problème ci:
Maximiser X1.X2.X3
Sous contraintes:
2.X1 + X2 + 3.X3 <= 1
avec X1 >= 0, X2 >= 0, X3 >= 0
J'ai relu mon cours et tout, mais dans les exos qu'on a traité, on minimisait toujours la fonction, alors moi, quand on me dit maximiser, je suis perdue et c'est la cata.
Je me demandais si je ne pouvais pas me ramener à une fonction objectif à minimiser:
-soit en faisant Minimiser -x1x2x3
mais dans ce cas (mais d'ailleurs minimiser comme ça me semble foireux) faut il également que je change qqe chose au niveau des contraintes?
-soit en passant à un problème dual:
mais je n'ai vu le dual que pour du linéaire...
Siouplait, peut on m'aider?
Dans l'exo de ce problème, on me demande de vérifier la qualification des contraintes en tout point solution du problème.
Ensuite, de regarder si les conditions de KKT sont suffisantes , nécessaires, les deux, puis d'écrire ces conditions:
pour cela je sais qu'il faut que je regarde la convexité de la fonction f(x) = x1x2x3, mais voilà, le maximiser me pose un problème, car je n'ai fait des exos qu'avec minimiser, et voilà, ça m'induit du doute :/
Merci à l'âme charitable qui aimerait m'aider..
Bonjour,
Tu as raison, maximiser f(x,y,z) et minimiser -f(x,y,z) c'est le même problème.
Et surtout, tu ne changes rien aux contraintes, elles restent ce qu'elles sont !
s'il s'agit de maximiser le produit on se borne à
pour i=1,2,3
d'autre part en posant le problème devient:
maxi Z=[tex]1\over 2[\text]
erreur de manipulation
bonjour
s'il s'agit de maximiser le produit on se borne à
pour i=1,2,3
d'autre part en posant le problème devient:
maxi Z= donc:
maxi P=
sous les contraintes et
1
pour la suite j'essaierais de montrer que le maxi de P ne peut être atteint pour un point vérifiant <1
pour de raisons de symétrie je serais tenté de dire que la solution est atteinte au point=1/3;
;
salut
je prends les lettres xyz pour éviter les indices
tu veux donc maximiser f(x,y,z)=xyz sur l'ensemble E défini par tes contraintes
E est compact et union de son intérieur et de son bord et f est continue (et dérivable indéfiniment)
donc soit le maximum a lieu à l'intérieur et tu calcules le gradient de f et tu cherches quand il est nul (comme pour la dérivée) soit le maximum a lieu sur le bord
df = yzdx + zxdy + xydz or x>0,... donc "df>0" (c'est en fait un vecteur) donc le maximum a lieu lorsque 2x+y+3z = 1 sauf erreur
d'ailleurs n'y a-t-il pas un THE qui dit cela ? (j'en sais plus rien)
il faut alors chercher sur {2x+y+3z=1} le maximum
en fait df=0 conduit à un point stationnaire (max ou min)
ouaaa, plein de réponses!
merci merci
je vais y réfléchir demain matin, quand j'aurai de nouveau un cerveau.
c'est superbe ^^
Bon alors j'ai retrouvé mon cerveau et il m'a donné les réponses aux questions suivantes, par contre je ne sais pas si elles sont bonnes...quelqu'un pourrait me dire si ça lui semble correct?
Pour le problème
Maximiser x1x2x3
S.C.:
2x1 + x2 + 3x3 1
x1 , x2 , x3 >= 0
Q1: La condition de qualification des contraintes est elle vérifiée pour tout point solution de (P)?
Je me ramène au problème
Minimiser -x1x2x3
S.C.:
2x1 + x2 + 3x3 1
x1 , x2 , x3 0
Je pose xT = (x1,x2,x3)
g4(x) = 2x1 + x2 + 3x3 -1
g1(x) = - x1
g2(x) = - x2
g3(x) = - x3
les gi étant linéaires sur Rn, elles sont convexes sur Rn donc l'ensemble (S) des solutions pour le problème (P) est convexe.
De plus si on prend xT = (1/8; 1/8; 1/6)
Il appartient bien à (S) et il vérifie que les gi(x) < 0
Par conséquent le problème vérifie la condition de Slater donc la qualification des contraintes est vérifiée en tout point solution de (P).
Q2: Les conditions de KKT sont elles nécessaires? Nécessaires et suffisantes? Ni nécessaires ni suffisantes?
Le hessien de f est :
| 0 -x3 -x2 |
| -x3 0 -x1 |
| -x2 -x1 0 |
La fonction est semi définie positive car les termes diagonaux sont égaux à zéro (donc >= O ) -je pense que je dis nawak..?-
DONC la fonction f est convexe et par conséquent vu que nous avons déjà la condition de Slater, KKT est nécessaire et suffisante.
(est ce suffisant pour dire que KKT est nécessaire et suffisante?
)
La suite après la pause :/
je remonte le sujet au cas où..
en fait, pour la question 2, quand je dis que la matrice est semi définie positive, est ce que c'est suffisant, et même est ce que c'est vrai?
Parce que si je veux prouver que le problème est convexe (pour dire que KKT est nécessaire et suffisant), il faut que je prouve que f(x) = -x1x2x3 est convexe, ou alors que f(x) = x1x2x3 est concave, non? Parce que on me demande de maximiser x1x2x3, et non pas de le minimiser :/
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