Forum : exponentielle logarithme :
Problème

Bonjour à tous,j'ai un dm de maths à faire mais je n'y arrive vraiment pas pouvez-vous me guider?

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=1/((e^x)+(e^-x))
1)Etudier la parité de f.Que peut-on en deduire pour sa courbe.
2)Démontrer que, pour tout réel x0,e^-xe^x.
3a)Déterminer la limite de f en +inf
J'ai trouvé 0.
b)Etudier les variations de f sur [O;+inf[
merci d'avance

1. On remarque que f(x) =f(-x) q soit x .. donc ??

la fonction est donc paire?

Salut,

1) Calcule donc f(-x) et le résultat est immédiat
2) Etudie le signe de g(x) = e^x - e^-x sur [0;+inf[

Commence déjà par ceci

C'est deja fais,je trouve,
f(-x)=1/(e^-x+e^x)=f(x),la fonction est donc paire.
2)Etudie le signe de g(x) = e^x - e^-x sur [0;+inf[
On sait que e^x est positif sur [0;+inf[
e^-x est négatif donc - e^-x est positif
Donc sur  [0;+inf[ g(x)0

Attention : e^-x n'est pas négatif sur [0;+inf[ !!

d'accord mais sinon g(x) est bien positif?

Une indication :

- calcule la dérivée de g' de g sur [0;+inf[
- quel est son signe ?
- qu'en déduit-t-on pour g ?

g'(x)=(e^x*e^-x)+(e^'x*e^x)
g'(x) est positif
donc g(x) est positive
D'où e^x - e^-x  0
Donc ê^xe^-x

Juste une question,pourquoi e^x - e^-x  alors que au denominateur de f on a e^x + e^-x

Bonjour tissame,
g' est une somme... donc g'(x) = dérivée de e^x  +  dérivée de -e^-x.
Donc g'(x) = e^x + e^-x >0 sur R car l'exponentielle est toujours strictement positive.
Donc g est croissante strictement ...etc...

C'est faux.

Je te rappelle que la dérivée de e^x = e^x et que la dérivée de e^-x = -e^-x

On a donc g'(x) = e^x + e^-x > 0 sur [0;+inf[
On en déduit que g est strictement croissante sur [0;+inf[

Question :
- g étant strictement croissante sur [0;+inf[, pour quelle valeur de x prend-elle son minimum ??
- donc...

Sinon pour répondre à :

citation :
Juste une question,pourquoi e^x - e^-x  alors que au denominateur de f on a e^x + e^-x

...tu comprendras à la question 3

e^xe^-x

et plus explicitement pourquoi ?

car e^x-e^-x sup à 0 donc e^x sup a e^-x

c'est bon?

en fait ce qui me gêne, c'est que tu passes de :

- g est strictement croissante sur [0;+inf[, directement à :
- e^x-e^-x > 0

Qu'est-ce qui te permet de faire ce passage ?

Ba,comme la derivée est positive sur note intervalle,alors g est strictement croissante donc g(x) sup 0
Or g(x)=e^x-e^-x
D'ou e^x-e^x sup a 0
apres je transpose

ce n'est pas parce qu'une fonction est strictement croissante sur un intervalle qu'elle est positive !

par exemple ln(x) est strictement croissante sur [0;+inf[, pourtant ln(0.5)<0....

et ba je ne c pas comment...

bon on a g dont on sait qu'elle est strictement croissante sur [0;+inf[
Elle prend donc son minimum en 0
Or e^0 - e^-0 = 1-1 = 0 ce qui est positif
Donc, e^x-e^-x > 0 pout tout x [0;+inf[

merci
3)Je trouve que la limite est O

c'est juste !

merci
b)Les variations de f sur  [0;+INF[
je dois calculer f' et f(O)?

f(0)=1
mais la dérivée c'est bien de la forme -u'/u²?

La question te demande les variations de f.
Donc il faut calculer f' la dérivée de f effectivement.

et la dérivée comme tu l'as bien vu est de la forme -u'/u² donc =...

Je trouve f'(x)=(e^x+e^-x)/(e^x+e^-x)²
pour le numerateur j'ai simplifer car au debut j'avais - (e^x-e^-x)
On remarque donc que la dervivée est positif don f est strictement croissante

c'est correct?

Pourquoi as-tu "simplifier" ?

La dérivée est bien f'(x) = -(e^x - e^-x) / (e^x+e^-x)²

Tu as montré dans la question 2 que e^x - e^-x > 0.

Donc quel est le signe de -(e^x - e^-x) ?
Et de (e^x+e^-x)² ?
Conclusion sur la croissance ou décroissance de f ?

f est donc decroissante

exact

merci,vous pouvez m'aider a la suite de mon dm s'il vous plait,c'est la partie la plus dure...

l'autre partie est liée

poste-le ici

de toute façon quelqu'un prendra la relève si ce n'est pas moi

Soit (In) la suite definie sur N par:
In=Intergral (de n a n+1)f(x)dx.

1)Justifier l'existence de In et en donner une interpretation geometrique.
2a)Demontrer que,pour tout entier naturel n:
f(n+1)Inf(n)
b)En deduire que la suite (In) est decroissante.
c)Demontrer que la suite (In) est convergente et determiner sa limite.

Pour l'existence j'ai pensé dire que comme e^x et e^-x sont definie sur R et f(x) est derivable et definie sur R ,alors In existe

up

S'il vous plait vous pouvez m'aider

up

bonjour,

existence OK

pour l'interprétation géométrique, c'est toujours une histoire d'aire.

2a) peux-tu montrer que pour tout x entre n et n+1, ?

Si oui, que peux-tu en faire ?

Justement je n'arrive pas à le faire

je me suis trompée, l'encadrement est dans l'autre sens...

Tu connais le sens de variation de f et tu sais que tu peux donc conclure.

Mais où avez-vous vu cet encadrement( je cherche a comprendre...)

oulala

L'encadrement de x vient du fait que tu intègres entre n et n+1, donc x décrit cette plage de valeurs.

d'accord,

mais cela suffit pour arriver à l'encadrement final?