Une suite arithmétique cachée

Posté par Celsius Celsius

u est une suite définie sur telle que pour tout entier naturel n,U_n+2=2U_n+1-U_n

1.a)Calculer les six premiers termes de la suite dans le cas où U₀=0 et U₁=2
b)Faire de meme dans le cas où U₀=3 et U₁=-1
c)Que peut t-on conjecturer dans chacun des cas précédents?

2.On définit la suite v sur en posant V_n=U_n+1-U_n
a)Demontrer que v est une suite constante
b)Que peut t-on en déduire pour la suite u?
c)Exprimer U_n e, fonction de n,U₀ et U₁

Je viens a peine de voir les suites alors ca risque d'etre dur...On peut m'aidez svp?

Merci d'avance....

Posté par Camélia Camélia



Tu peux déjà essayer la question 1. a) U₀=0 et U₁=2. U₂=2U₁-U₀=4, U₃=2U₂-U₁=6 Tu continues?

Posté par Thallo Thallo

Bonjour,

1)a) tu possèdes la relation de récurrence, U_n+2=2U_n+1-U_n
Tu peux donc calculer U₂=2U₁-U₀=2*2-0=4
Ensuite tu as U₃=2U₂-U₁, et ainsi de suite

1)b) même principe que la 1)a)

1)c) Allez, je laisse planer le mystère.

2)a) tu devrais calculer V_n+1 et remarquer qu'il vaut V_n
Pour pour tout n, V_n=V₀

2)b) On sait désormais que U_n+1-U_n=V₀, donc U_n+1=U_n+V₀, n'est-ce pas là l'expression d'une suite arithmétique de raison V₀ ?

2)c) c'est une suite arithmétique,  tu peux donc déduire Un en fonction de U₀, V₀, et n. Puis tu remplace V₀, et tu auras Un en fonction de n, U₀ et U₁

Posté par Celsius Celsius

alors ca donnerai:U₄=2U₃-U₂=8;U₅=2U₄-U₃=10;U₆=2U₅-U₄=12
(la suite des nombres pairs...)
la question b) ca donnerait:
U₀=3;U₁=-1;U₂=2U₁-U₀=-5;U₃=2U₂-U₁=-11;U₄=2U₃-U₂=-27;U₅=2U₄-U₃=-65;U₆=2U₅-U₄=-157
c'est ca?

Posté par Thallo Thallo

Pour la 1ère suite Un oui
Pour la 2e, non, non !
U₃ = 2U₂-U₁ = 2*(-5)-(-1) = -10+1 = -9
Petite erreur de signe, mais ça rend tout le reste faux

Posté par Celsius Celsius

NON!!!!(oups)
U0=3;U1=-1;U2=2U1-U0=-5;U3=2U2-U1=-9;U4=2U3-U2=-13;U5=2U4-U3=-17;U6=2U5-U4=-21
voila c'est deja mieux non?^^

Posté par Thallo Thallo

Oui, cette fois c'est bon
Que peut-on donc conjecturer ?

Posté par Celsius Celsius

euh...
1ere suite:+2 a chaque fois et positive tout le temps;suite pairs
2e suite:-4 a chaque fois et negative tout le temps;suite impairs(enfin pas sur..)
c'est ca?

Posté par Thallo Thallo

Oui
par contre le fait que la suite ne soit fait que de nombres pairs ou impairs ici  n'est pas important.
Ce qui compte c'est qu'on dirait des suites arithmétiques.
(ce que la question 2 va montrer)

Posté par Celsius Celsius

alors si on resume:
1. a) U0=0 et U1=2. U2=2U1-U0=4, U3=2U2-U1=6;U4=2U3-U2=8;U5=2U4-U3=10;U6=2U5-U4=12
b)U0=3;U1=-1;U2=2U1-U0=-5;U3=2U2-U1=-9;U4=2U3-U2=-13;U5=2U4-U3=-17;U6=2U5-U4=-21
c)Pour la premiere suite on ajoute 2 à chaque fois.Pour la seconde suite,on retranche 4 à chaque fois.On peut conjecturer que ces deux suites sont des suites arithmétiques.

2.a)(tu devrais calculer Vn+1 et remarquer qu'il vaut Vn
Pour pour tout n, Vn=V0)==>euh quelques détails svp?^^'
b)On sait désormais que Un+1-Un=V0, donc Un+1=Un+V0,il s'agit de l'expression d'une suite arithmétique de raison V0.
c)euh ca donne:Un=U0+nV0 donc =U0+nU1 c'est ca?

Posté par Thallo Thallo

Pour la 2a), je te laisse le plaisir de vérifier que V_n+1=V_n ce qui montre qu'elle est constante
et donc que pour tout n, V_n=V₀

2b)En effet

2c) Non, V₀=U₁-U₀, donc U_n=U₀+nV₀= ?

Posté par Celsius Celsius

2a)le plaisir de vérifier?C'est pas un plaisir tu sais?^^

2c)aieaieaie....je crois que je vais dire une bourden+1)((U0+nV0)/2)?

Posté par Thallo Thallo

Mais si, les maths c'est beau, c'est merveilleux ! on s'y amuse comme des petits fous

2a) V_n+1=U_n+2-U_n+1=2U_n+1-U_n-U_n+1=U_n+1-U_n=V_n

2c) Hu ?
U_n=U₀+nV₀= ? sachant que V₀=U₁-U₀, tu remplace donc V₀ et tu trouves U_n= ?

Posté par Celsius Celsius

euh Un=U0+n(U1-U0)
      =U0+nU1-nU0?

C'est ca?(je passe vraiment pour un idiot pour ne pas dire autre chose....)

Posté par Celsius Celsius

J'aimerais qu'on me reponde svp

Posté par Celsius Celsius

Je voudrais que quelqu'un me reponde SVP

Posté par Celsius Celsius

Quelqu'un peut me dire si j'ai correct à la dernière question?