Forum : exercices :
Exo défi: Théorème de Dirichlet (cas particulier).

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citation :
la démo que je connais utilise les polynômes cyclotomiques.

Chut! Faut pas le dire trop fort.

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J'étais sûr d'avoir blanké. Désolé

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Vous aviez raison de douter! L'exo de Term prouve qu'en fait il existe une infinité de nombre premier de la forme kp+1 où p est premier lui aussi. Cas très très particulier donc... Au temps pour moi...

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Soit p un entier premier impair et  .

Alors il existe un entier premier q>p aussi grand qu'on veut auquel on peut attacher un entier x tel que .
(voir par exemple ici :)

Mézalor :    donc   et on voit que    (sinon on aurait   )

p est donc l'ordre de x dans et donc p divise q-1.

(on peut rerédiger cette partie à coup de division euclidienne pour que ce soit vraiment accessible au niveau TS mais, là, j'ai la flemme )

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J'en ai une encore plus accessible pour l'exo modifié.

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citation :
J'en ai une encore plus accessible pour l'exo modifié.

Ok, ça m'intéresse diablement

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D'abord le cas très très particulier:

Lemme: Soient p un nombre premier et x un entier. Tout nombre premier q qui divise est de la forme np+1.

Preuve: On pose . Cet ensemble est non vide donc minoré. Notons son plus petit élément.
Soit n un élément quelconque de . On écrit une division euclidienne: . b est donc nul (car et on a clairement (x+1)^b-x^b=0 (mod q)). D'où .
Comme p est dans il vient que ( étant impossible).
Comme on a aussi il vient . C'est exactement ce qu'on voulait.

Pour le cas très très particulier, on prend x=n!, on remarque alors que q>n. D'où le résultat.


Cas initial.

Lemme: Soient n et a deux entiers, et p un nombre premier divisant mais ne divisant pas n. Alors .

On sait que l'on a quelque soit m. On applique cette formule à n. Il vient que dans F_p.
Mais comme p ne divise pas n, est à racines simples et donc a est racine simple de . L'ordre de a est donc forcément n.
En effet, dans le cas contraire, p diviserait un avec d divseur strict de n. Ce qui contredirait le fait que a soit racine simple de .

Pour revenir au cas général, on refait comme avant: a=k! ...