Officiel de la Taupe 95c

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 Officiel de la Taupe 95c Posté le 07-05-08 à 19:07
Posté par perroquet perroquet

Exercice dédicacé à mikayaou

Il a été proposé au concours des Mines (option PC).

Citation :

Soient         et       orthogonale. Montrer que    

 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 08-05-08 à 18:52
Posté par borneo borneo

Hello  

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Trop dur ?  
 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 08-05-08 à 18:57
Posté par infophile infophile

Bonjour 

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Si c'est faisable en Sup' et qu'on définit ce qu'est une matrice orthogonale, je veux bien essayer 
 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 08-05-08 à 18:57
Posté par infophile infophile

Coucou borneo ! 
 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 08-05-08 à 19:04
Posté par perroquet perroquet

Définition d'une matrice orthogonale pour les étudiants de Maths Sup

Une matrice M  de M_n(R) est orthogonale si et seulement si     
 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 08-05-08 à 21:13
Posté par borneo borneo

Salut Kévin  

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Attention aux coups de soleil ...  
 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 09-05-08 à 22:55
Posté par lyonnais lyonnais

Bonsoir 

J'ai regardé en vitesse ( mais je n'ai pas le temps d'appronfondir, peut-être plus tard  ).

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On utilise le fait que comme O est orthogonale, det(O) = +/- 1 (si je ne dis pas de bétise)

Alors si on suppose A inversible (quite à utiliser la densité de Gln(IR) dans Mn(IR)), on a :

Et en utilisant la formule de déterminants par bloc ... ie :

Après je ne sais pas si ça va donner quelque chose, c'est juste une piste ...
 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 09-05-08 à 23:01
Posté par mikayaou mikayaou

salut perroquet 

indirectement ( cf.  ), tu es en train de me classer dans les "honnêtes hommes", n'est-il pas ? 

il est vrai que j'ai de grandes mains 

Bobby Lapointe aurait dit : " comprend qui veut...ou comprend qui peut" 

 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 09-05-08 à 23:05
Posté par mikayaou mikayaou

perroquet devait certainement faire allusion à ...

 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 10-05-08 à 18:42
Posté par perroquet perroquet

Voici une solution (en blanké)

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 donc 

On en déduit que:

En passant aux déterminants, on obtient (ne pas oublier que le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs est égal au produit des déterminants des bocs diagonaux):

Donc: 

 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 10-05-08 à 18:50
Posté par mikayaou mikayaou

des bocks , perroquet ?

 re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 10-05-08 à 23:07
Posté par jandri jandri 

Bonjour perroquet.

Voici une autre solution qui montre que  :
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Si O est la matrice de f dans une base orthonormale  on a:

La matrice de  est 

donc:

Par suite: 

  re : Officiel de la Taupe 95c Posté le 11-05-08 à 09:58
Posté par jandri jandri 

Bonjour,

La solution de perroquet (légèrement modifiée) permet aussi de montrer :
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Puisque 

on déduit:

d'où

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