les suites

Posté par fesposs fesposs

boujour a tous
on me demande egalement de considerer une suite (Un) positive et la suite (Vn) definie par :

Vn=Un/(1+Un)

Et on me demande de choisir parmis plusieurs propositions et de justifier :

-Si (Un) converge alors (Vn) converge
-pour tt n de N(naturel), Vn inferieur ou egal a Un
-Si (Un) decroit alors (Vn) décroit
-Si (Vn) converge alors (Un) converge

Pourriez vous m eclairez sur ce mystere de la vie qui est pour moi les suites svp?
Merci beaucoup par avance

Posté par fesposs fesposs

les suites
profil de fespossposté par : fesposs
boujour a tous
on me demande egalement de considerer une suite (Un) positive et la suite (Vn) definie par :

Vn=Un/(1+Un)

Et on me demande de choisir parmis plusieurs propositions et de justifier :

-Si (Un) converge alors (Vn) converge
-pour tt n de N(naturel), Vn inferieur ou egal a Un
-Si (Un) decroit alors (Vn) décroit
-Si (Vn) converge alors (Un) converge

Pourriez vous m eclairez sur ce mystere de la vie qui est pour moi les suites svp?
Merci beaucoup par avance

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Posté par dhalte dhalte

Et qu'est-ce que tu en penses, personnellement ?

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Posté par fesposs fesposs

personnellement je n en pense pas grand chose.
j ai un bac sti et mon me demande ca pour un examen professionnel,
je suis plongé dans les annalles de bac mais ca ne m eclaircis pas la chose outre mesure !!
pas fautes d y mettre de la bonne volonté.

merci par avance

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Posté par dhalte dhalte

Tu sais quand même ce qu'est une suite qui converge ?

Prend une suite qui converge, et tu peux la combiner, faire des sommes, des rapports, etc.. et en général ça converge aussi.
Je dis en général parce que dans ton cas, il faut prendre quelques précautions :
si Un converge, c'est vers une valeur limite L. alors 1+Un converge vers 1+L et on pourrait dire que (Un)/(1+Un) converge vers (L)/(1+L), mais c'est là qu'est le danger : la division par 0.

Si Un converge vers -1, c'est à dire si L=-1, alors Vn diverge.
Sinon, Vn converge vers (L)/(1+L), sachant qu'alors, le dénominateur ne s'annule pas "à partir d'un certain rang".
Une dernière remarque ; il se peut que pour certaines valeurs de n, Un soit défini et pas Vn : celles où Un=-1 justement.

Posté par dhalte dhalte

Mais comme l'énoncé dit que Un est positive, alors mes précautions de midinette n'ont plus vraiment lieu d'être, et tu peux affirmer que pour une suite Un à termes positifs, si Un converge vers L alors Vn converge vers (L)/(1+L)

Posté par dhalte dhalte

Et avec Un positive, on a évidemment 1+Un>0, donc le rapport (Un)/(1+Un) est défini et >= à 0.

Comparons Vn et Un :
a-t-on réellement Vn<Un ?
Faisons le test :
Vn<Un <=>
Un/(1+Un)<Un <=>
Un<Un(1+Un) <=>
Un<Un+Un² <=>
0<Un²

C'est toujours vrai, sauf si Un=0, dans quel cas on a 0=Un²

Donc tu peux dire : pour toute suite Un strictement positive, Vn=Un/(1+Un) est strictement inférieure à Un

Posté par dhalte dhalte

Pour la décroissance, faisons encore une fois le test :
on part de l'hypothèse que V(n+1)<V(n) et regarde si c'est équivalent à U(n+1)<U(n)

V(n+1)<V(n) <=>

U(n+1)/(1+U(n+1) <U(n)/(1+U(n)) <=>
je multiplie les deux membres par (1+U(n+1))(1+U(n)), et l'équivalence est conservée parce que ce facteur est strictement positif
U(n+1)(1+U(n)) <U(n)(1+U(n+1)) <=>
développement
U(n+1)+U(n+1)U(n) <U(n)+U(n)U(n+1) <=>
simplification
U(n+1) <U(n) ce qui est la marque que U(n) est décroissante.

Donc tu peux affirmer que pour toute suite Un positive, si Un est décroissante, alors Vn=Un/(1+Un) est décroissante.

Posté par fesposs fesposs

merci beaucoup pour votre aide, elle m est precieuse.

Posté par dhalte dhalte

La convergence inverse :
si Vn converge vers une valeur L, alors Un converge-t-elle ? et vers quelle valeur ?

On a l'expression de Vn en fonction de Un, on va calculer l'expression de Un en fonction de Vn

Vn=Un/(1+Un) <=>
Je multiplie par 1+Un, qui est différent de 0, puisque les termes de la suite Un sont tous positifs
Vn(1+Un)=Un <=>
Je développe
Vn+VnUn=Un <=>
Je simplifie et factorise Un
Vn=Un(1-Vn)

Et là, je veux diviser par 1-Vn. Mais je dois faire très attention lors des divisions. Le terme peut-il s'annuler ?

Si Vn=1, je n'ai pas le droit de diviser.
Pour quelles valeurs de Un peut-on avoir Vn=1 ?

Il faut résoudre 1 = Un/(1+Un)

1 = Un/(1+Un) <=>
Je multiplie par 1+Un, qui est différent de 0, puisque les termes de la suite Un sont tous positifs
1+Un=Un <=>
Je simplifie
1=0

Ce qui n'est pas possible : j'en déduis que Vn ne peut jamais être égal à 1.
Donc je peux reprendre mon calcul interrompu

Vn=Un(1-Vn) <=>
Vn/(1-Vn)=Un

Si Vn converge vers L, alors 1-Vn converge vers 1-L.
Attention : ici encore, peut-on avoir 1-L = 0 ?
En effet, ce n'est pas parce que une suite ne prend jamais une valeur donnée qu'elle ne converge pas vers cette valeur.
Regarde la suite Zn=1/n, définie pour n>0
Les termes Zn ne sont jamais nuls, mais la suite converge vers 0.

Alors, Vn, dont aucun terme n'est jamais égal à 1, peut-elle converger vers 1 ?
Eh oui, justement. Vn peut converger vers 1, et c'est justement quand Un tend vers l'infini

Si la suite Un tend vers l'infini, alors les termes Un sont tous non nuls à partir d'un certain rang.


Je factorise Un au numérateur et au dénominateur

Je simplifie

Pourquoi avoir choisi cette forme de l'expression. Parce que quand Un tend vers l'infini, alors 1/Un tend vers 0, tend vers 1,
et finalement
tend vers

Donc, la conclusion est que si Vn tend vers 1, ce qui est tout à fait possible, alors Un tend vers l'infini.
Si au contraire Vn tend vers L, alors on peut écrire
Un=Vn/(1-Vn) tend vers L/(1-L)

Posté par fesposs fesposs

merci beaucoup de votre aide
je vous souhaite une bonne soirée
encore merci