exercice sur le calcul intégral

Posté par mike911 mike911

bonjour j'ai un gros souci sur cet exercice votre aide serait la bienvenue

le but de l'exercice est le calcul de:
    /4
I=   dx/(cos^(5)) x
    0

pour tout entier naturel n, on pose:
    /4
In=  dx/(cos^(2n+1)) x
     0

1) démontrer qu'il existe 2 nombres réels a et b tels que, pour tout x appartenant [0, /4]

1/cos x= (a cos x)/ (1-sin x) + (b cos x)/ (1+sin x)

En déduire le calcul de I0


2)prouver par une intégration par parties que pour tout n
:  2nl(indice n)= (2n-1)*l(indice n+1)+ 2(puissance n)/ 2

3) en déduire le calcul de I


Dans l'attente de vos réponses. Cordialement mike

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour,

commence par réduire au même dénominateur le membre de droite puis utilise (1-sin x)(1+sin x)=1-sin²x=cos²x.

Puis identifie avec ce qu'on veut trouver.Qu'obtiens-tu?

Posté par azizderri azizderri

re: calcul integral
reduit au meme denominateur le second membre de l egalite

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour, c'est ce que je viens d'écrire...

Posté par mike911 mike911

en mettant au même denominateur je trouve 1/cos x= (a(cos x + cos x sin x)+ b(cos x +cos x sin x))/ cos^(2) x.

est-ce sa? après je ne sais pas quoi faire j'ai vraiment beaucoup de mal.
merci d'avance

Posté par Tigweg Tigweg

Il y a un moins au lieu du plus dans la deuxième parenthèse.

Mets ensuite cos(x) en facteur au numérateur, puis simplifie haut et bas par cos(x) en remarquant que les conditions sur x impliquent que cos(x) est différent de 0.

Qu'obtiens-tu?

Posté par mike911 mike911

alors j'arrive a 1/cos x= (cos x(a+ a sin x+ b -sin x))/cos^(2) x
puis en simplifiant 1/cos x= (a+ a sin x + b -sin x)/ cos x
suis-je sur la bonne voie? comment identifier a partir de la?
merci

Posté par Tigweg Tigweg

Parfait!

A présent regroupe tes constantes a et b entre elles, et factorise sin(x) dans ce qui reste, puis essaie d'identifier avec le numérateur qui doit valoir 1!

Posté par miss3003 miss3003

jai le meme exercice jai suivi vos conseils j 'arrive donc a :  [(a+b)sin x +a+b]/cos x
Mais je vois pas comment passer de ce numérateur a 1 pr obtenir : 1/cos x

Posté par Tigweg Tigweg

C'est [(a-b).sin(x) +(a+b)]/cos x, attention!

Donc que doivent valoir a-b d'une part, et a+b d'autre part, pour que cela coïncide avec 1/cos(x)?

Posté par miss3003 miss3003

ba c bien ça mon problème c que je vois pas comment justifier leur valeur car on ne me demande pas de les trouver

Posté par miss3003 miss3003

(a-b) = 1/sinx ? je ne sais pas comment partir! et est ce qu'on doit déterminé x car  x compris entre 0 et /4  équivaut à sin x compris entre 0 et 2 /2

Posté par Tigweg Tigweg

Euh...vous êtes combien là au juste?!

Je rappelle, à toutes fins utiles, que les multi-comptes ne sont pas acceptés sur l'île!

Pour répondre à ta question, a-b est une constante, qui ne peut donc pas être égale à la fonction non constante 1/sin(x)!


A gauche, on compte les sinus : il y en a (a-b). A droite il n'y en a pas, donc a-b=0 , c'est assez clair!

Puis on compare entre elles les constantes de gauche et de droite pour aboutir à a+b=1...


Ce n'était pas si dur, quand même!

Posté par miss3003 miss3003

non c'est pas clair mais merci quand même!!

Posté par Tigweg Tigweg

J'avoue ne plus savoir quoi dire pour t'expliquer!

Changeons d'exemple!

Si on veut trouver a et b tels que (a-b).sin(x) + (a+b).cos(x) = 2.sin(x) + 3.cos(x),

serais-tu d'accord pour dire que:

a-b=2 et

a+b=3?


Si oui, remarque que ce qu'on veut dans l'exercice s'écrit aussi:


(a-b).sin(x) + (a+b).cos(x) = 0.sin(x) + 1.cos(x),


donc:

a-b=0 et

a+b=1.


Si tu ne comprends toujours pas, je renonce!

Posté par miss3003 miss3003

2)prouver par une intégration par parties que pour tout n
:  2n I(indice n)= (2n-1)*I(indice n-1)+ 2(^n)/ racine de 2
  

j'ai un dernier soucis pour cette question je ne sais pas si je dois appliquer l'intégration par parties à In ou à I(n-1) et si je dois placer le 2n devant directement..

Posté par Tigweg Tigweg

As-tu compris ce que j'ai expliqué, déjà?

De plus, tu n'as pas écrit la même chose pour l'énoncé de la question 2 que ce que tu avais écrit initialement...

Est-ce I(n-1) ou I(n+1) dans le second membre?

Posté par miss3003 miss3003

oui jai compris pr le truc d'avant j'ai fini le petit 1 et por l'énoncé je mettais trompé au début c'est pour ça que je le réécris j'ai rectifié

Posté par Tigweg Tigweg

OK, fais apparaître un facteur 1/cos²x dans l'expression de In et utilise que l'une de ses primitives est tan(x), puis intègre par parties.