Trigonométrie et fonction

Posté par Toine974 Toine974

Bonjour à tous, alors voilà:
J'ai un DM à rendre très beintôt, et je bute sur un exercice:

Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie par f(x) = (1 + cosx).(2cosx - 1).

1) Démontrer que f est périodique de periode 2 et qu'elle est impaire.

2)a/ Démontrer que, pour tout réel x: f'(x) = (1 + cosx).(2cosx - 1).
  b/En déduire le tableau de variation de f sur [0;].
  {c/Soit C1 la courbe de f pour x [0;]. Tracer soigneusement cette courbe et ses tangentes aux points d'abscisses 0, /3, /2 et .}

Posté par douceliane douceliane

Pour montrer qu'une fonction est périodique de période 2 il faut que tu montres que f(x)=f(x+2) pour tout xDf

Calcule f(x+2) et montre que c'est égal à f(x)

Pour montrer qu'elle est impair il faut que tu montre que f(-x)=-f(x)
donc calcule f(-x) puis -f(x) et conclue qu'il sont égaux.

Je n'ai pas vraiment compris la question 2)a/
f'(x)=f(x)??

Posté par Toine974 Toine974

Oui, en effet: c'est une erreur de ma aprt, désolé...

f(x) = (1 + cosx) . (sinx)

Maintenant la question 2 a plus de sens ...

En tous cas merci.

Posté par douceliane douceliane

Donc il n'y a pas de dérivé?

Posté par Toine974 Toine974

Ben si,
f(x) = f(x) = (1 + cosx) . (sinx).

Et il faut montrer que:
f'(x) = (1 + cosx).(2cosx - 1).

Posté par douceliane douceliane

attends tu dis
Et après
Donc f'(x) est la dérivée? Et f(x)=(1+cos(x)).(sin(x)) est la fonction de base?

Posté par Toine974 Toine974



La fonction de base est:
f(x) = (1 + cosx) . (sinx)

et il faut montrer que sa dérivée vaut:
f'(x) = (1 + cosx).(2cosx - 1).

Posté par douceliane douceliane

Bon alors on part de f(x)=(1+cos(x)).(sin(x))
Soit f: x->(1+cos(x)).(sin(x)) définie sur R
On pose u: x->1+cos(x) définie dérivable sur R
telle que u'(x)=-sin(x)
              v: x->sin(x) définie dérivable sur R
telle que v'(x)=cos(x)
Alors f est dérivable sur R comme produit de fonction dérivable
telle que f=u*v
           et f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)+u(x)
               f'(x)=-sin²(x)+cos(x)*(1+cos(x))
or tu vois que dans la dérivé proposé il n'y a plus de sinus donc tu pars de cos²(x)+sin²(x)=1-sin²(x)=cos²(x)-1
d'où        f'(x)=cos²(x)-1+cos(x)+cos²(x)
               f'(x)=2cos²(x)+cos(x)-1

Notons y=(1+cos(x)).(2cos(x)-1)
            y=2cos(x)-1+2cos²(x)-cos(x)
            y=2cos²(x)+cos(x)-1
Alors y=f'(x)
d'où f'(x)=(1+cos(x)).(2cos(x)-1)

Posté par douceliane douceliane

Si je vais trop vite dis le moi et je réexpliquerai plus lentement.

Posté par Toine974 Toine974

Ah, je vois.

"u'(x)=-sin(x)" (c'est parce que le "1" n'a pas d'importance? (dérivée de 1 = 0 c'est ca ?)

Sinon j'ai eu eun peu de mal a comprendre que tu avais développé en prenant la nouvelle forme mais j'ai compris ^^.

Merci !

Ensuite pour en déduire le tableau de variation, je suppose que je dois dresser le tableau de signe de f'(x) mais comment? Et quelle valeur prendre ?

Et enfin pour les tangentes il faudra utiliser cette formule je suppose:
yT =  f'(A)(x-a) + f(A)
Avec A les valeurs demandées.
Non ?

Posté par douceliane douceliane

Oui c'est ça^^ les dérivés des nombres sont toujours nulles.

Tu sais que ta fonction est périodique de période 2 étudie la sur [0;2]
Ou plutôt étudie sa dérivée sur [0;2]

Tu sais que (1+cos(x))0 puisque cos(x)-1

Donc le signe de f'(x) ne dépend que de (2cos(x)-1)
(2cos(x)-1)0 pour cos(x)1/2 et donc pour tout x[-/4;/4] (regarde sur ton cercle trigonométrique...)

Fais de même pour le (2cos(x)-1)0 et conclue

Posté par Toine974 Toine974

Oh je vois! ^^
Je croiq que j'peux l'finir maintenant!
Mici ^^

Posté par Toine974 Toine974

Danke Schön Sanfte Regenperle :p

Posté par douceliane douceliane

Past schon^^