Suites et intégrales.

Posté par Linkou62 Linkou62

Bonjour à tous,

J'ai besoin d'un petit coup de pouce sur un exo mélangeant intégrales et suites.

Soit (In) définie pour tout n par:
In = ^e₁ x(ln x)ⁿ dx si n 1

et Io = ^e₁ x dx

1) Calculer I_o et I₁
2) En utilisant une IPP, montrer que 2In + nI_n-1 = e²
   En déduire I₂

3) Démontrer que (In) est décroissante.

Voila en fait je suis bloqué à cette troisième question, je pense avoir réussi le reste.
Il faudrait étudier le signe de I_n+1 - I_n

Soit: I_n+1 - I_n =  ^e₁ x(ln x)ⁿ⁺¹dx - ^e₁ x(ln x)ⁿ dx

En utilisant la linéarité des intégrales:

I_n+1 - I_n = ^e₁  ( x(ln x)ⁿ⁺¹ - x(ln x)ⁿ ) dx

Il s'agit alors d'étudier le signe de l'intérieur de cette intégrale, car si il est négatif, l'intégrale l'est aussi <=> la suite est décroissante.
Mais voila j'arrive pas à l'étudier ce signe !

Merci de votre aide.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

C'est bien ça. Pour 1 xe, on a 0ln(x)1, donc le signe de la chose dans ton intégrale est bien négatif.

Posté par Linkou62 Linkou62

J'ai compris votre raisonnement qui montre que les ln x sont forcement négatifs.

Mais si je reprends l'intégrale en question, à savoir:

I_n+1 - I_n = ^e₁  ( x(ln x)ⁿ⁺¹ - x(ln x)ⁿ ) dx

Il faut étudier le signe de x(ln x)ⁿ⁺¹ - x(ln x)ⁿ

sachant qu'on travail avec 1 x e
il faut donc étudier le signe de (ln x)ⁿ⁺¹ - (ln x)ⁿ

et en sachant que ces 2 intégrales sont négatives, je vois toujours pas comment connaitre le signe du tout.

Posté par Camélia Camélia

Non, les ln ne sont pas négatifs ils sont compris entre 0 et 1.

Posté par Linkou62 Linkou62

Je me rends compte que j'ai dit n'importe quoi et enchainé les confusions depuis tout à l'heure, désolé.

J'ai compris la factorisation par xln(x)ⁿ

xln(x)ⁿ est forcement positif.
ln(x) - 1 < 0 car 0 < ln(x) < 1 donc le tout est négatif, et la fonction décroissante.

merci beaucoup !