petit DL
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petit DL
Posté le 08-05-08 à 21:42
Posté par 
severinette severinette
Bonsoir , comment feriez vous , à l'ordre 3 pour calculer le DL de ln(sin x) ?
merci
severinette severinetteBonsoir , comment feriez vous , à l'ordre 3 pour calculer le DL de ln(sin x) ?
merci
re : petit DL Posté le 08-05-08 à 21:46
Posté le 08-05-08 à 21:46Posté par severinette severinette
oui , car j'ai fait ln(x-x³/6+x³E(x)) mais ça n'amène pas au modèle ln(1+x) malheuresement...
severinette severinetteoui , car j'ai fait ln(x-x³/6+x³E(x)) mais ça n'amène pas au modèle ln(1+x) malheuresement...
re : petit DL Posté le 08-05-08 à 21:47
Posté le 08-05-08 à 21:47Posté par severinette severinette
salut gui et skops , avec ln(cos x) c'etait facile on avait directement le 1 , ici non
severinette severinettesalut gui et skops , avec ln(cos x) c'etait facile on avait directement le 1 , ici non
re : petit DL Posté le 08-05-08 à 21:49
Posté le 08-05-08 à 21:49Posté par disdrometre disdrometre
salut Skops et Lucky..
si ce n'est pas un DL donc c'est un DA en 0 ..
disdrometre disdrometresalut Skops et Lucky..
si ce n'est pas un DL donc c'est un DA en 0 ..
re : petit DL Posté le 08-05-08 à 21:51
Posté le 08-05-08 à 21:51Posté par severinette severinette
si je factorise par x , ça me fait :
ln(x) + ln(1-x²/6+x²E(x)) , je me retrouve tjs avec ce ln(x) qui fonce vers - l'inifni vu que x tend vers 0 ...
severinette severinettesi je factorise par x , ça me fait :
ln(x) + ln(1-x²/6+x²E(x)) , je me retrouve tjs avec ce ln(x) qui fonce vers - l'inifni vu que x tend vers 0 ...
re : petit DL Posté le 08-05-08 à 22:05
Posté le 08-05-08 à 22:05Posté par severinette severinette
tu m'as dit de factoriser par x :
ln(x) + ln(1 - x²/6 + x² E(x))
et maintenant je pose x = 1/t ? ça sert à rien pour le second terme et pour le 1er ça fausse carrément le truc , donc je comprends rien skops aide moi
severinette severinettetu m'as dit de factoriser par x :
ln(x) + ln(1 - x²/6 + x² E(x))
et maintenant je pose x = 1/t ? ça sert à rien pour le second terme et pour le 1er ça fausse carrément le truc , donc je comprends rien skops aide moi
re : petit DL Posté le 08-05-08 à 22:21
Posté le 08-05-08 à 22:21Posté par gui_tou gui_tou
¤ tu fais le DL de sin(x) en 1 à l'ordre 3
ou
¤ tu fais le DL de la dérivée de ln(sin(x)) en 1, puis tu intègres...
sauf erreur
gui_tou gui_tou¤ tu fais le DL de sin(x) en 1 à l'ordre 3
ou
¤ tu fais le DL de la dérivée de ln(sin(x)) en 1, puis tu intègres...
sauf erreur
re : petit DL Posté le 08-05-08 à 22:23
Posté le 08-05-08 à 22:23Posté par severinette severinette
ok , et bien merci les gars pour vos réponses tjs instructives , combien avez vous fait de DL pour vous sentir à l'aise ?
severinette severinetteok , et bien merci les gars pour vos réponses tjs instructives , combien avez vous fait de DL pour vous sentir à l'aise ?
re : petit DL Posté le 12-05-08 à 12:49
Posté le 12-05-08 à 12:49Posté par gui_tou gui_tou
\) en 1 a l'ordre 3)
¤ On calcule le DL de)
en 1 à l'ordre 3
Par le changement de variable)
, il vient
\,=\,\sin(t+1)\,=\,\sin(t)\cos(1)+\cos(t)\sin(1)\,=\,\cos(1).\(t-\fr{t^3}{6}+o(t^3)\)+\sin(1).\(1-\fr{t^2}{2}+o(t^3)\))
En développant, il vient alors :
\,=\,\sin(1)+\cos(1).t-\sin(1).\fr{t^2}{2}-\sin(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3))
soit encore, en remplaçant t par x-1 :
\,=\,\sin(1)+\cos(1).(x-1)-\sin(1).\fr{(x-1)^2}{2}-\cos(1).\fr{(x-1)^3}{6}+o(x^3))
Maintenant on compose par le logarithme :
![3$\fbox{\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)+\cos(1).(x-1)-\sin(1).\fr{(x-1)^2}{2}-\cos(1).\fr{(x-1)^3}{6}+o(x^3)\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\fbox{\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)+\cos(1).(x-1)-\sin(1).\fr{(x-1)^2}{2}-\cos(1).\fr{(x-1)^3}{6}+o(x^3)\])
Il est alors plus judicieux de revenir à notre bon vieux t, variable qui tend vers 0.
On met ainsi)
en facteur, de sorte à faire apparaître du )
![3$\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)+\cos(1)t-\sin(1).\fr{t^2}{2}-\cos(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)\] \\ \ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)\(1+\fr{\cos(1)}{\sin(1)}t+\fr{t^2}{2}-\fr{\cos(1)}{\sin(1)}\fr{t^3}{6}+o(t^3)\)\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)+\cos(1)t-\sin(1).\fr{t^2}{2}-\cos(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)\] \\ \ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n\[\sin(1)\(1+\fr{\cos(1)}{\sin(1)}t+\fr{t^2}{2}-\fr{\cos(1)}{\sin(1)}\fr{t^3}{6}+o(t^3)\)\])
ie :
![3$\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n(\sin(1))\,+\,\ell n\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\ell n\(\sin(x)\)\,=\,\ell n(\sin(1))\,+\,\ell n\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\])
Et là on retrousse les manches
On calcule le DL en 0 à l'ordre 3 de)
avec .t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3))
=X-\fr12X^2+\fr13X^3+o(X^3))
soit ()
![3$\rm\ell n(1+X)=\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\] \\ -\fr12\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]^2 \\ +\fr13\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]^3+o(t^3)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\rm\ell n(1+X)=\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\] \\ -\fr12\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]^2 \\ +\fr13\[1\,+\,\rm{cotan}(1).t\,+\,\fr12t^2\,-\,\fr{\rm{cotan}(1)}{6}t^3\,+\,o(t^3)\]^3+o(t^3))
Bon là j'ai la flemme de développer, mais à en croire Maple :
\,=\,cotan(1)(x-1)\,-\,\fr12\(1+cotan^2(1)\)(x-1)^2\,+\,\fr13cotan(1)\(1+cotan^2(1)\)(x-1)^3+o(x^3))
D'où finalement :
)\,=\,\ell n(\sin(1))\,+\,\rm{cotan(1)}(x-1)\,-\,\fr12\(1+\rm{cotan^2(1)}\)(x-1)^2\,+\,\fr13\rm{cotan(1)}\(1+\rm{cotan^2(1)}\)(x-1)^3+o(x^3))
SAUF ERREUR !
Je vais manger et je m'attaque à la deuxième méthode.
gui_tou gui_tou¤ On calcule le DL de
Par le changement de variable
En développant, il vient alors :
soit encore, en remplaçant t par x-1 :
Maintenant on compose par le logarithme :
Il est alors plus judicieux de revenir à notre bon vieux t, variable qui tend vers 0.
On met ainsi
ie :
Et là on retrousse les manches
On calcule le DL en 0 à l'ordre 3 de
soit (
)Bon là j'ai la flemme de développer, mais à en croire Maple :
D'où finalement :
SAUF ERREUR !
Je vais manger et je m'attaque à la deuxième méthode.
re : petit DL Posté le 12-05-08 à 13:51
Posté le 12-05-08 à 13:51Posté par gui_tou gui_tou
\)%20en%201%20a%20l'ordre%203 : Methode > integration)
Soit=\ell n(\sin x))
la fonction définie au voisinage de 1.
f est dérivable et={4$\fr{\cos x}{\sin x})
f' admet un DL en 1 à l'ordre 3, et il vient avec le changement de variable
={4$\fr{\cos(t+1)}{sin(t+1)}=\fr{\cos(1)\cos(t)\,-\,\sin(1)\sin(t)}{\cos(1)\sin(t)\,+\,\sin(1)\cos(t))
Or :
\,=\,\sin(1)+\cos(1).t-\sin(1).\fr{t^2}{2}-\cos(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3))
et
\,=\,\cos(1)-\sin(1).t-\cos(1).\fr{t^2}{2}+\sin(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3))
donne :
={4$\fr{\cos(1)-\sin(1).t-\cos(1).\fr{t^2}{2}+\sin(1).\fr{t^3}{6}+o(t^3)}{\sin(1)\(1+\fr{\cos(1)}{\sin(1)}t+\fr{t^2}{2}-\fr{\cos(1)}{\sin(1)}\fr{t^3}{6}+o(t^3)\))
![3$f'(x)\,=\,\[\rm{cotan(1)}-t-\rm{cotan(1)}\fr{t^2}{2}+\fr{t^3}{6}+o(t^3)\]\;\times\;{4$\fr{1}{1+\rm{cotan(1)t+\fr{t^2}{2}-\rm{cotan(1)\fr{t^3}{6}+o(t^3)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$f'(x)\,=\,\[\rm{cotan(1)}-t-\rm{cotan(1)}\fr{t^2}{2}+\fr{t^3}{6}+o(t^3)\]\;\times\;{4$\fr{1}{1+\rm{cotan(1)t+\fr{t^2}{2}-\rm{cotan(1)\fr{t^3}{6}+o(t^3))
Et la fomrmule)
conduit au résultat.
Sauf erreurs
gui_tou gui_touSoit
f est dérivable et
f' admet un DL en 1 à l'ordre 3, et il vient avec le changement de variable
Or :
et
donne :
Et la fomrmule
Sauf erreurs
re : petit DL Posté le 12-05-08 à 14:18
Posté le 12-05-08 à 14:18Posté par A-Zak A-Zak
sin(0)=0 donc on peut appliquer ce theoreme:
donc on pose:
=ln(x) et g(x)=sinx )
g(0)=0;
*T_P : balise corrigée *
A-Zak A-Zaksin(0)=0 donc on peut appliquer ce theoreme:
Citation :
soit f et g deux fonctions ayant pour DL à l'ordre n au point 0
=P(x)+x^nE(x))
et
=Q(x)+x^nE(x))
Si g(0)=0, le DL de la fonction composée fog à l'ordre n en 0 est
(x)=T_n(PoQ)(x)+x^nE(x).)
soit f et g deux fonctions ayant pour DL à l'ordre n au point 0
et
Si g(0)=0, le DL de la fonction composée fog à l'ordre n en 0 est
donc on pose:
g(0)=0;
*T_P : balise corrigée
*
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