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Officiel de la Taupe 135a

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  posté le 08/05/2008 à 21:49Officiel de la Taupe 135a
 posté par : perroquet
Un petit peu d'algèbre linéaire (concours communs polytechniques option PC)

citation :

Soient E et F deux espaces vectoriels, f et g deux applications linéaires respectivement de E dans F et de F dans E telles que       et    .

Montrer que      et  

On suppose désormais que E et F sont de dimension finie. Comparer rg(f) et rg(g).

On suppose    dim E= dim F = rg(f)=n; montrer que    

On note      et    .    Soit         .  Montrer que      et   

  posté le 08/05/2008 à 22:17re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : gui_tou
Bonsoir perroquet.

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Montrons que 

¤ Montrons que 

Soit . Montrons que x=0.

 et . Il vient :  soit encore 

Or  donc g(t)=0 et avec x=g(t), il vient 

¤ Montrons que 

Soit . 

Analyse

On suppose que : 

 or  donc  d'où  ie 

Ainsi, je sèche  
  posté le 08/05/2008 à 22:27re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : perroquet
Bonsoir gui_tou

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Tu as correctement démontré que Im (g) et ker f sont en somme directe.

Pour la deuxième question, en utilisant tes notations:

t_1 est dans F, pas dans E.

Et si tu posais   t_1=f(x) ?

  posté le 08/05/2008 à 22:32re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : infophile  
Bonsoir 

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Pour compléter mon ami guitou 

  posté le 08/05/2008 à 22:38re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : gui_tou
Merci kév

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Le théorème du rang appliqué à f donne :

Or  donc 

Je m'atèle à démontrer gof=Id
  posté le 08/05/2008 à 22:41re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : infophile  
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Pour la suite, théorème du rang pour l'égalité des rangs.

Puis avec les nouvelles hypothèses on a dim(kerf)=0 donc f est injective.

Et comme fo(gof) = f on a bien gof = Id.
  posté le 08/05/2008 à 22:55re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : infophile  
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Pour terminer,  car la constante P(0) est éliminée après dérivation et 

C'est pas très justifié mais l'idée est là, je dois quitter l'

Merci pour ces colles perroquet 
  posté le 14/05/2008 à 13:27re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : perroquet
Une solution de l'exercice, en blanké

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Soit  dans . Il existe  dans  tel que .

Alors 

Tout élément  de  peut s'écrire   avec  et .

 est dans  et  est dans , puisque 

D'après le théorème du rang, 

Puisque  on a: 

Puisque ,  est surjective.

Puisque , on déduit du théorème du rang que  est injective.

Donc,  est bijective. Puisque , on a, en composant par : 

On a:  donc 

De plus  donc 

  posté le 14/05/2008 à 13:40re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : Tigweg
Bonjour, 

je viens de voir ton topic perroquet.

Etonnamment facile cette année pour un sujet de Polytechnique, non?
  posté le 14/05/2008 à 17:00re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : infophile  
Salut Greg 

Ne pas confondre CCP et Polytechnique 
   posté le 14/05/2008 à 17:14re : Officiel de la Taupe 135a
posté par : Tigweg
Salut Kevin!

Je ne connais pas, mais tu me rassures s'il y a une différence!

citation :
Soient E et F deux espaces vectoriels, f et g deux applications linéaires respectivement de E dans F et de F dans E telles que et . Montrer que et On suppose désormais que E et F sont de dimension finie. Comparer rg(f) et rg(g). On suppose dim E= dim F = rg(f)=n; montrer que On note et . Soit . Montrer que et

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