Forum : produit scalaire :
Exo produit scalaire

Bonsoir à tous

J'aurais juste un peu besoin d'aide sur cet exo, merci :

ABC est un triangle équilatéral; O est un point quelconque, intérieur au triangle ABC. On note H le projeté orthogonal de O sur (AB), I le projeté orthogonal de O sur (BC) et J le projeté orthogonal de O sur (CA). On pose AB = L.

1) Prouver que
   Etablir des relations analogues pour

2) Etablir que  

3) En déduire que AH + BI + CJ garde une valeur constante k, indépendante du choix du point 0.
[/b]

4) Que vaut BH + CI + AJ ?

5) Que représente L * OH pour le triangle OAB ?  
   En déduire que OH + OI+ OJ ne dépend pas non plus du choix du point O.

J'ai fais :

1) = = AH * AB = L * AH

De même pour : = BI * L et = CJ * L.

2) Je bloque à partir de la, donc pour la suite aussi :


= L*AH + L * BI + L * CJ  = L (AH + BI + CJ) et je suis bloquée...


Merci pour votre aide et vos explications surtout !!
Merci encore



  

bonsoir

Je ne comprends pas:  AB=L  ??


et en vecteur AO.AB=AH.AB  ??

Bonsoir,

il y des fautes dans le dessin et dans le 2) manque des +,

si O est quelconque, tu ne dois pas faire passer (OI) par C.

C'est un cas particulier !!

c'est ça?

Bonsoir à tous les deux !!

Sinon, je ne me suis pas trompée, c'est bien AB = L et en vecteur  = L * AH


et dans le 2, en effet, il manque des +

à oui, cest vrai je me suis trompée au dessin !! Merci

Sinon, pour le 2, je voie pas quand même

Tu avais également écrit
en vecteur: AO.AB=L.AB  alors qu'il fallait lire AO.AB=L.AH  (L et AH étant des longueurs)

dans ce cas là c'est bien sûr plus simple:

Lz produit scalaire de 2 vecteurs est égal au produit de l'un d'eux par la projection orthogonale de l'autre sur le support du premier (c'est une définition du produit scalaire)

Or la projecrion orthogonale de AO sur le support de AB c'est AH  et comme AB et AH ont le même  sens (puisque O est à l'intèrieur du triangle )on aura donc :
le produit des vecteurs AO.AB est égal au produit des longueurs L.AB


Il est trop tard pour continuer....

ok, donc pour la 1 c'est :

AO.AB = AH.AB = AH*L

BO.BC = BI.BC = BI*L

CO.CA = CJ.CA = CJ*L

à chaque fois par projection orthogonale......(je préciserais sur la feuille bien sur )

Par contre pour la 2 je ne vois toujours pas , pouvez vous me donner une petite explication.
....

En tout cas merci pour votre aide

salut dydy,

peux-tu réécrire la question 2)

parce que je pense qu'il manque des + à gauche des égalités.

as-tu essayé Chasles ?

bonjour disdromètre et dydy

Je continue un peu......

Utilisons Chasles pour transformer cette relation vectorielle :

AO.AB+BO.BC+CO.CA

AO.AB+(BC+CO).BC+CO.CA

AO.AB+BC²+CO.BC+CO.CA

AO.AB+BC²+CO(BC+CA)

AO.AB+BC²+CO.BA

AB(AO+OC)+BC²

AB.AC+BC²


A dydy la suite...

Bonjour Disdromètre


Homère ==> Par contre je ne compends à partir de

AO.AB+BC²+CO.BC+CO.CA
AO.AB+BC²+CO(BC+CA)             ==> ce que je ne comprends pas c'est comment CA = (BC+CA)


Merci pourl'explication

tu as mal compris (tu réfléchis trop vite ). Je pensais être très clair...

je mets CO en facteur dans les 2 derniers termes:

CO.BC+CO.CA=CO(BC+CA)  soit CO.BA  (relation de Chasles)

ok, merci j'ai compris maintenant, tu as mis en facteur, c'était tout bête en plus....mais c'est un nouveau chapitre et je cherche comliqué .......

Sinon; là j'ai cherché (quand même au moins 5 min...) et je ne comprends pas pourquoi de :

AO.AB+CO.BA   on passe à ==>   AB(AO+OC) ??

C'est bien la relation de Chasles pour AB(AO+OC) =  AB.AC, mais je ne vois pas pourquoi avant

Merci de bien vouloir "encore" m'expliquer ....
Merci

Ah non !! J'ai compris !!! C'est bon, encore une fois, je réfléchie trop vite...c'est Chasles aussi...

Sinon, pour

3) AH + BI + CJ on doit trouver une constante et aussi que ça soit indépendant de O, mais alors on doit commencer par quoi ??
Vu que c'est "en déduire" on doit utiliser la question 2 non ?  
Et on n'a pas les longueurs là : BH + CI + AJ...à non, je suis désolé, je ne comprends pas, par ou commencer, puis-je avoir juste "une piste" et j'essaierais de trouver

Merci

homere étant déconnecté , je me permets de répondre à sa place ...

  



  d'après Chasles

merci disdrometre,

dydy, tu ne réfléchis pas suffisamment...c'est triste pour toi...

Si je récapitule:

AO.AB+BO.BC+CO.CA=AB.AC+BC²
=L.(AH+BI+CJ) (ici c'est en longueur )

mais en vecteur AB.AC=L.L.cos60)  (autre définiton du produit scalaire)
et cos60°=1/2

Donc AB.AC+BC²=1/2L²+L²= 3/2 L²

L.(AH+BI+CJ)=(3/2)L²   d'où AH+BI+CJ=(3/2)L

L représente bien sûr la longueur commune des 3 côtés de ce triangle équilatèral.
Le résultat de cette somme est indépendante de la position du point O.(une fois et demi la longueur du côté)

disdrometre ==> oui, c'est ce que j'avais remarqué après envoi du message, en fait, on "inverse" juste les écritures


homere ==> Je ne comprends pas pourquoi tu dis : "c'est triste pour toi..."
Je t'assures, j'ai cherché, mais j'ai un peu du mal, avant que bien maîtriser une nouvelle notion, oui, c'est vrai

J'ai a peu près compris, donc si je récapitule bien :

AO.AB+BO.BC+CO.CA

= AB.AC+BC²

= AB * AC * cos(AB;AC)+ BC²

= L * L * COS 60° + L²

= 3/2 L²

= (1/2)L² + L²

Ca j'ai bien compris, maid d'ou sort L.(AH+BI+CJ) ??

bonjour,
tu avais trouve les trois produits scalaires au 1) ex

donc tu ajoutes (AH+BI+CJ)*L=1.5*L²;
(AH+BI+CJ)=1.5*L

tu l'a démontré dans une question précédente ...

fais un effort..

5) L*OH/2= Aire de OBA; L*OI/2=aire(OBC); L*OJ/2=Aire (OCA)donc en additionnant L*(OH+OJ+OI)/2=Aire(ABC)=L²*rac(3)/4
donc (OH+OJ+OI)=rac(3)/2

Ok, merci à vous deux, donc :

AO.AB+BO.BC+CO.CA

= AB.AC+BC²

= AB * AC * cos(AB;AC)+ BC²

= L * L * COS 60° + L²

= 3/2 L²

or

AO.AB+BO.BC+CO.CA = L*AH + L * BI + L * CJ = L (AH + BI + CJ)

donc : L (AH + BI + CJ) = 3/2 L² et AH +BI + CJ = (3/2)L

ok, merci

4)

donc attendez, j'essaye de faire le 4 !

de rien Homere ,je   m'ennuies un peu sans doute!!

non je m'ennuie un peu sans doute!!

Alors

Je peut déjà remarquer que AH + BI + CJ = BH + CI + AJ, car c'est la moitié des segments AB, BC et AC, donc

BH + CI + AJ = (3/2)L


C'est ça ?

Est ce bon, s'il vous plait ?

up ??

Merci de bien vouloir me répondre et me corriger s'il vous plait

bonjour

(BH+CI+AJ)+(AH+BI+CJ)=AB+BC+CA=3L

donc comme AH+BI+CJ=(3/2)L  alors BH+CI+AJ=(3/2)L

et la suite...

ton argument "la moitié des segments" n'est pas clair du tout..

mieux vaut constater que les 2 sommes correspondent à la somme des 3 côtés de ce triangle.

ok, merci Homere, en fait, c'est ce que pensais, mais je ne savais pas comment le  rédiger, c'est souvent ça mon probléme d'ailleurs ...

Sinon pour le 5)

OH, représente pour le triangle AOB, sa hauteur et H représente la longueur de [AB], soit la base de [AB].

Et la vois pas le rapport avec l'aire, ça va servir à quoi de calculer l'aire du triangle ?

Et surtout ce qui m'embête c'est "le choix du point O", ça me perturbe, comment savoir ?

bonsoir

L.OH=AB.OH=2.aire du triangle AOB
L.OI=BC.OI=2.aire du triangle BOC
L.OJ=AC.OJ=2.aire du triangle COA

en ajoutant membre à membre ces 3 relations:

L.(OH+OI+OJ)=2.aire du triangle ABC

tu peux calculer l'aire du triagle ABC en fonction de L (calcule au moins ça)

et tu pouras conclure que  OH+OI+OJ s'exprime en fonction de L.

Merci pour ta réponse

Mais tu vas penser que je suis vraiment "fainéante" (ce qui n'est pas le cas), je ne comprends vraiment pas pourquoi on a :

L.OH=AB.OH=2.aire du triangle AOB, plus précisément le "2.", c'est surement tout bête, mais je ne comprends pas, l'aire c'est bien (Base*Hauteur)/2, si on commence par L.OH alors pourquoi à la fin on a 2. ??

Merci pour ton explication.

l'aire d'un triangle =(base*hauteur)/2  donc

base*hauteur= 2 fois l'aire de ce triangle....  non????

si  (b.h)/2=aire   alors b.h= 2.aire  !!!

à oui, on passe de l'autre coté ! C'est vrai, (la honte , tu m'escuseras, tu dois vraiment te demander....)

Donc

aire du triangle ABC

= (L*OH)/2 + (L*OI)/2 + (L*OJ)/2

= (L.(OH+OI+OJ))/2

Mais on ne les a pas les distances OH, OI et OJ ?

non bien sûr, mais tu peux calculer 2 fois l'aire du triangle ABC ce qui te donnera la valeur de  L.(OH+OI+OJ) et tu pourras donc en sortir la valeur de OH+OI+OJ (je te l'ai déjà expliqué )...

voir mon post de 23h44

si L.(OH+OI+OJ)=2.aire ABC  alors

(OH+OI+OJ)=(2.aire ABC)/L   !!!!!!!

oui, mais pour calculer l'aire du triangle équilatéral, on n'a pas sa hauteur ?

Oulala, je suis désolé, mais je ne coprends pas...

sa hauteur AA'se calcule par pythagore AB²=AA'²+A'B²
donc AA'²=L²-(L/2)²=l²-l²/4=3L²/4

AA'

sa hauteur AA'se calcule par pythagore AB²=AA'²+A'B²
donc AA'²=L²-(L/2)²=L²-L²/4=3L²/4

AA'

ah oui !!

Donc on a :

aire du triangle ABC

= (L*OH)/2 + (L*OI)/2 + (L*OJ)/2

= (L.(OH+OI+OJ))/2

et aire de ABC :

(B*h) /2 = (BC*AA')/2 = =

donc

(L.(OH+OI+OJ))/2 =

L.(OH+OI+OJ) =  

Et puis, après je ne comprends pas

faute dans:

citation :
(B*h) /2 = (BC*AA')/2 =(Lrac(3)/2)/2=Lrac(3)/4

CAR
j'ai oublie dans AA' d'ecrire

donc tes trois dernieres lignes de 14.59 il manque L² à la place de L , quatre fois de suite

Ok donc :

L.(OH+OI+OJ) =  (L²3)/2

donc OH+OI+OJ = (L²3)/2)/(L)

OH+OI+OJ = j'arrive...pas...