Forum : topologie :
Boule non convexe?

Bonjour,

Voici un problème intéressant:

Soit l'ensemble des fonctions continues définies sur à valeur dans .

Cet espace n'est pas normable mais c'est un espace métrique avec la distance déterminée par



où

.

Considérons la boule fermée .

Cette boule n'est pas convexe comme le montre le calcul suivant:

, , .

On obtient sans problème que ,  , et donc mais que ; ce qui prouve que cette boule n'est pas convexe.

Le problème vient du fait que l'espace    est un espace de Fréchet, c'est à dire un espace localement convexe complet. En particulier tout ouvert contenant l'origine contient un ouvert convexe; de plus la topologie métrique est équivalente à la topologie d'espace localement convexe.

La question qui se pose est la suivante: quels sont les ensembles convexes de   ? (mis à part les semi-boules déterminées par chacune des semi-normes)

Existe t-il des boules convexes fermées centrées à l'origine de rayon r?

Si vous avez des idées ou des références je serais très reconnaissant!

Bonne journée!

En fait cela semble un peu plus délicat que je ne pensais.

Il faut étudier les parties bornées dans un espace localement convexe métrisable qui ne sont pas forcément les mêmes si l'on étudie la distance invariante par translation décrite ci-dessus...

je vais continuer à chercher!

Bonjour,

citation :
Existe t-il des boules convexes fermées centrées à l'origine de rayon r?

je dis peut être une bêtise mais si tu as trouvé une boule fermé non convexe centrée à l'origine,
alors toutes les boules fermées (en particulier centrées à l'origine) sont non convexes car les dilatations (qui permettent de se ramener à une boule unité) sont affines, et l'image d'un convexe par une application affine est convexe.

le seul problème est que la distance décrite n'est pas homogène:

elle ne vérifie pas

on ne peut pas alors transposer les propriétés d'une boule de rayon 1/2 à celle de rayon 1/4 ou de rayon 2.

ah oui effectivement, j'ai réfléchi bêtement comme si la topologie était associée à une seule semi-norme alors qu'il y en a une infinité.

Dernière nouvelle, si le rayon r de la boule est compris entre
et 1/2 les boules ne sont pas convexes. Il suffit pour cela de faire des modifications élémentaires aux fonctions ci-dessus.

je crois (je dois refaire mes calculs, mais c doit être bon) que si ces boules ne sont pas convexes non plus.

je commence à croire que les boules associées à cette distance ne sont pas convexes.

A suivre!

erreur: l'intervalle c'est

désolé...erreur de calcul...il suffit de prendre les mêmes fonctions mais en décalant un peut l'une par rapport à l'autre.

Bon, finalement cette distance n'est pas convexe.

c'est un exercice intéressant parce que l'on croit généralement que toute boule est forcément convexe. Cela est vrai dans les espaces normés, mais pas dans les espaces métriques.

En l'occurence l'espace des fonctions continues définies sur la droite réelle muni de cette distance est un espace métrique non convexe. Cela n'est pas en contradiction au fait que c'est aussi un espace vectoriel topologique localement convexe, il faut en fait munir cet espace d'une autre distance pour que les boules métriques soient convexes.

La voici la distance qui fait que les boules soient convexes:



où d_k(f,g) est défini ci-dessus.

Voilà