Forum : produit scalaire :
produit scalaire et barycentre

bonjour,
Voilà j'ai un dm à rendre pour la semaine prochaine. Mais j'ai un problème pour cet exercice. Je bloque déjà pour la première question. Voici l'exercice :
On considère dans l'espace un rectangle ABCD de centre I.
1) Démontrer que D est le barycentre du système {(A,1),(B,-1),(C,1)}
2) Déterminer l'ensemble E des points M de l'espace tels que :

ll MA + MC ll = 2 ll MA - MB +MC ll (ce sont tous des vecteurs)

3) Déterminer l'ensemble F des points M de l'espace tels que :

MA² - MB² + MC² = BD²

Merci de bien vouloir m'aider.

Bonjour,

1)
ABCD est un carré, donc, en vecteurs :
AD = BC
AD = BD + DC
AD - BD + DC = 0
D est le barycentre du système {(A,1),(B,-1),(C,1)}

2) N'y a-t-il pas un moyen de faire apparaître MI dans le membre de gauche ? Et MD à droite ?

pour la question 1 j'ai fait d'une autre façon :

I est le milieu de [AC] alrs I=Bar {(A,1),(C,1)}
Cherchons un point G tel que G=bar {(A,1),(B,-1),(C,1)}
par associativité G=bar {(I,2),(B,-1)}

donc 2GI-GB=0
     2(GD+DI)-(GD+DB)=0
     GD+2DI-DB=0  (2DI-DB=0)
alrs GD=0
Donc G est en D
donc D barycentre du système {(A,1),(B,-1),(C,1)}


2) MA+MC=2MI ( I isobarycentre de A et C )
et MA - MB +MC =MD
Non?

2) Tu es bien parti. Continue et conclus...

donc :
ll 2MI ll = ll MD ll

2MI=MD
MI= MD/2

||MD|| dans le membre de droite est faux.

ah oui effectivement j'ai oublié le 2 donc je reprends :

ll 2MI ll = 2 ll MD ll

MI=MD
L'ensemble E est la médiatrice de [ ID ]

OK.

3)  MA² - MB² + MC² = (MD+DA)² - (MD+DB)² + (MD+DC)² = MD² + 2MD ( DA - DB + DC) + DA² + DB² + DC²

Est ce une bonne méthode?

Oui.

2MD ( DA - DB + DC)= 2MA - 2MB + 2MC = MD ?

Non.
Que vaut DA - DB + DC (en vecteurs) ?

DA - DB + DC (en vecteurs)=0 ?

Oui.

MA² - MB² + MC² = MD² + DA² + DB ² + DC²

MD² ou 3MD² ?
Continue les calculs jusqu'à la fin.
Pourquoi t'arrêter toujours ligne par ligne ?

MA² - MB² + MC² = BD²

MD² + DA² + DB² + DC² = BD²

MD² + DA² + DC² = 0

MD² + AC² =0

2ème ligne : -DB² dans le membre de gauche, non ?
Il faut finir avec du MD² = ...
et trouver une forme géométrique simple.

Oui mais -DB² + BD² c'est pas égale à 0?

Sauf erreur de ma part, tu as -DB² dans le membre de gauche et +DB² dans le membre de droite. Je ne vois pas comment tu aboutis à 0.

MA² - MB² + MC² = BD²

MD² + DA² - DB² + DC² = BD²

MD² = BD² + BD - AC²

Je ne comprends pas.
Comment un BD apparaît-il ?
Comment AC² apparaît-il ? DA²+DC² n'est pas égal à AC².

Ceci est l'égalité donnée par lénoncé :
MA² - MB² + MC² = BD²


MA² - MB² + MC² = MD² + DA² - DB² + DC²

donc :
MA² - MB² + MC² = BD²
MD² + DA² - DB² + DC² = BD²
MD² = BD² - DA² + DB² - DC²
MD² = 2BD² - DA² - DC²

Cela semble OK. Le membre de droite ne dépend pas de M. Tu peux calculer sa valeur. Conclusion ?

2BD²- DA²-DC² est un nombre qui peut être: <0 ou bien =0 ou bien >0
soit K=2BD²-DA²-DC²
Si K<0 l'ensemble E est l'ensemble vide
si K=0 ;E est réduit au point D (MD²=0)
si K>0 alors E est le cercle de centre Det de rayon r=racine carrée de K

Merci bcp.
Mais il y a une chose que je ne comprends pas dans la question 1 :
AD = BC
AD = BD + DC
AD - BD + DC = 0

Pourquoi ça ne fait pas -DC lorsqu'on fait basculer ce membre de l'autre côté?

ça ne serait pas plutôt quelque chose de ce type :
AD - BD - DC = 0

AD - BD + CD = 0

En multipliant par -1 :

DA - DB + DC = 0

effectivement AD-BD-DC=0
          <==>-DA+DB-DC=0
          <==>DA-DB+DC=0 donc D est bien barycentrede (A,1) ;(B,-1);(C,1)
(le résutat est bon ,c'est pour cela que je n'ai pas jugée utile de le signaler,au passage ta méthode est aussi bonne )

exact

Merci bcp!!

le plaisir est pour moi

citation :
2BD²- DA²-DC² est un nombre qui peut être: <0 ou bien =0 ou bien >0

Tu es sûr ? Ne peut-on pas utiliser Pythagore pour montrer que c'est toujours positif ?

2BD²- DA²-DC² = 2 ( AB² + DC² ) - DA² -DC²
              = AD² + DC²

est- ce comme ceci qu'il faut utiliser pythagore?  

rectification :
2BD²- DA²-DC² = 2 ( AD² + DC² ) - DA² -DC²
              = AD² + DC²

Par exemple. Donc c'est positif.

et l'ensemble change t-il?

Pardon ?

oui le fait que c'est positif l'ensemble F est -il donc toujours le cercle de centre D de rayon racine AD²+DC² ?

Ton propre message de 14h56 contient la réponse, non ?

pour plusde précision concernant le signe de K
K=2BD²-DA²-DC²
K=2BD²-(DA²+DC²) ,comme ABCD est un rectangle A²=BC² etBC²+DC²=BD² donc
K=2BD²-BD²
K=BD² et par conséquent l'ensemble F des points M de l'espace (et non du plan (détail dont on n'a pas tenu compte)), est une sphère de centre D et de rayon r=BD

ah d'accord je comprends mieux à présent!!
Merci pour votre aide!!