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Posté par
chidorie 09-05-08 à 14:53

Voilà, j'ai un exercice de mathématique, mais voilà depuis 2 jours que je suis dessus et que je n'arrive pas à m'en sotir...
J'ai commençé mais à partir d'une question je suis bloqué:
Voici l'énoncé.

Exercice 1:

(Un) et (Vn) sont les suites défnies par Uo=1 et Vn=2 et pour tout entier n, Un+1=Un+2Vn/3
Vn+1=Un+4Vn/5

1)Déterminer les premiers termes de (Un) et (Vn) pour n allant de 1 à 5.
donc j'ai fais: U1=(U0+2Vn)/3= 5/3
                V1=(U0+4Vn)/5= 9/5

                U2=(U1+2Vn)/3= 79/45
                V2=(U1+4Vn)/5= 133/45
et je fais de même jusqu'à U5 et V5

2) Pour tout n, on pose Wn= Vn-Un
     a) Démontrer que la suite (Wn) est géométrique
donc j'ai fais: Wn=Vn-Un
          soit: Wn+1=Vn+1-Un+1
                    = (Un+4Vn)/5 - (Un+2Vn)/ 3
                    = (3Un+12Vn) / 15 - (5Un+10Vn) / 15
                    = 2/ 15n (Vn-Un)
donc la suite W est géomatrique de raison q=2/15

     b) Exprimer (Wn) en fonction de n
et c'est la que je suis bloqué....

3) Pour tout n, on pose Tn=3Un+10Vn. Démontrer que la suite (Tn) est constante.
      Tn+1=3U(n+1)+10V(n+1)
          =(Un+2Vn)+2(Un+4Vn)
          =Un+2Vn+2Un+8Vn
          = 3Un+10Vn
          =Tn
donc t est constant et Tn=T0=3U0+10VO
                            =23

4) Déduire des questions précédentes l'expression de (Un) puis de (Vn) en fonction de n.
Donc je sais que je dois résoudre je systéme.
             Vn-Un=Wn
             3Un+10Vn=Tn
Mais je ne sais pas comment le faire.

5)Donner la limite des suites (Un) et (Vn) si elles sont convergentes.
    Là par contre, je n'ai même pas commencer le cours dessus, alors si vous pouviez m'aider ça serait super simpa.
Merci en tout cas, pour votre aide.

Posté par
ciocciure : Suite 09-05-08 à 15:02

salut
2) tu dois trouver dans le cours comment écrire une suite géo de raison 2/15 et de 1er terme Wo (que tu peux calculer)


ensuite tu auras Vn-Un= (2/15)n
et               3Un+10Vn=23
tu résouds le système pour déduire Un et Vn

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite 09-05-08 à 15:03

Bonjour

2)b) En général, si (an) est une suite géométrique de premier terme a0 et de raison q, on a an=qna0. Il te reste à l'appliquer à W

4) Pour désoudre le système tu peux remarquer que Vn=Wn+Un (première équation) et remplacer Vn par cette valeur dans la deuxième.

Quand tu airas résolu ce système, je te montrerai comment faire les limites.

Posté par
veledare : Suite 09-05-08 à 15:05

bonjour,
2)b)w_n=(2/15)w_{n-1}=>w_n=({2/15})^nw_0
avecw_0=v_0-u_0

Posté par
alex3890re : Suite 09-05-08 à 15:06

Salut à toi, premièrement c'est très agréable ce genre de post où tu nous montres très bien toutes tes recherches!! C'est extrèmement rare d'avoir des exercices aussi bien expliqués et je t'en félicites!

Je te fais confiance pour les exercices 1 et 2a.

2) b)tu sais que Wn est une suite géométrique or la formule générale d'une suite géométrique est:
    un = u0*q^n
Pour Wn:
Wn=Wo*q^n=(V0-U0)*q^n=(2/15)^n
C'est aussi simple que ça!

4) Tn=23 et Wn=(2/15)^n donc c'est tout simple il faut résoudre:
Vn-Un=(2/15)^n <=>Vn=Un+(2/15)^n
3Un+10Vn=23 <=>3Un+10(Un+(2/15)^n)=23

...
Je te laisse finir lecalcul afin de trouver Un et Vn en fonction de n

Postes tes réponses et je t'aiderais pour la 5^^
Cordialement
Alex

Posté par
ciocciure : Suite 09-05-08 à 15:13

je vous aurais pas un peu tous grillés là ....


yek yek yek !!

Posté par
Camélia Correcteurre : Suite 09-05-08 à 15:14

Félicitations ciocciu

Posté par
alex3890re : Suite 09-05-08 à 15:14

carrément mais j'écrivais ma réponse pendant ce temps c'est pour ça que j'avais pas vu désolé!!

Posté par
ciocciure : Suite 09-05-08 à 15:15

y'a aucun souci ....c'est juste pour dire ...

Posté par
chidorieSuite 10-05-08 à 11:20

bonjour,
je vous remercie de m'avoir répondu...
Grâce à vous j'ai pu vérifier mes résultats et comprendre la ou je n'avais pas réussi.
Par contre, pouvez vous me dire
si pour la question 4) ma réponse est juste:
il s'agissait de résoudre le systéme suivant:

     Vn-Un=Wn
     3Un+10Vn=Tn

Soit Vn-Un=(2/15)^n
     3Un-10Vn=23

     Vn=Un+(2/15)^n
     3Un+10(Un+2/15)^n=23

     Vn=Un+(2/15)^n
     3Un+10Un+20/15^n+23

      Vn=Un+(2/15)^n
      13Un+20/15^n=23

     Vn=Un+(2/15)^n
     13Un=23-20/15^n

      Vn=Un+(2/15)^n
      Un=23/13-20/195^n

      Vn=23/13-20/195+2/15^n
      Un=23/13-20/195^n

      Vn=23/13-20/195^n+26/195^n
      Un=23/13-20/195^n

      DONC  Vn=23/13 + 6/195^n
             Un=23/13-20/195^n

Voilà, aprés si vous pouviez aussi m'aider pour la question 5) ça serait super simpa...
Je vous remercie infiniment..:)

Posté par
alex3890re : Suite 10-05-08 à 13:20

aie aie aie lol
Fais attention tu t'es trompée!
Tu n'as pas le droit de calculer avec un exposant n comme tu l'as fais!
je te détaille le calcul:
\left{V_n-U_n=W_n \\ 3U_n+10V_n=T_n


\left{V_n=U_n+(2/15)^n \\ 3U_n+10V_n=23

\left{V_n=U_n+(2/15)^n \\ 3U_n+10(U_n+(2/15)^n)=23

\left{V_n=U_n+(2/15)^n \\ 13U_n=23-10\times{(\frac{2}{15})^n

\left{V_n=U_n+(2/15)^n \\ U_n=\frac{23}{13}-\frac{10}{13}\times(\frac{2}{15})^n

Nous obtenons ainsi l'expression de Un réduite au maximum (à ne plus toucher!)

\left{V_n=\frac{23}{13}-\frac{10}{13}\times(\frac{2}{15})^n+(2/15)^n \\ U_n=\frac{23}{13}-\frac{10}{13}\times(\frac{2}{15})^n

\left{V_n=\frac{23}{13}+\frac{3}{13}\times(\frac{2}{15})^n \\ U_n=\frac{23}{13}-\frac{10}{13}\times(\frac{2}{15})^n


Voici enfin les deux expressions de Un et Vn en fonction de n!!

Alors pour la limite, lorsque n tend vers +\infty, (\frac{2}{15})^n tend vers O car 0\le\frac{2}{15}\le1

Donc les suites Un et Vn tendent vers \frac{23}{13} donc vers la même limite cqfd.

Voilà j'espère que ma réponse te conviendra.
Bonne après midi et a ++

Posté par
chidorieSuite 11-05-08 à 19:42

Merci, inifniment
désolé d'avoir fait une faute...
Bonne continuation....hiihii


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