Forum : arithmétique :
Les zéros de 1000!

Bonjour, je ne suis pas sûr comment répondre à la première question. Merci d'avance.
Énoncé: L'exercice a pour but de déterminer par combien de zéros se termine le nombre 1000!
1) Montrer qu'il existe des entiers p et q (p1 et q 1) et un entier N premier avec 10 tels que: 1000!=2^p.5^q.N

Bon, avant tout je n'ai pas compris l'expression "un entier N premier avec 10".
je sais que 1000= 2^3.5^3, on voit clairement que 1000! a déjà 2^p.5^q (où p et q 3)
comment continuer et prouver N?

salut

un entier N premier avec 10 => N n'est pas divisible par 2 ou par 5


1000 !  ( 1000 factoriel )

1000 ! = 1x2x3x4 .. x999x1000

Bonjour

Il s'agit tout simplement de la décomposition en facteurs premiers de 1000!. Comme tu le dis si bien, il est divisible par 2 et par 5. Alors soit p le plus grand exposant possible pour 2, q celui pour 5 et N le produit de tous les autres facteurs premiers avec leurs exposants!

Merci ^^

pour ma part de rien

Re bonjour, je ne sais pas comment conclure la 2èmre question, elle dit:
Combien y a-t-il de nombres inférieurs ou égaux à 1000 divisibles par 5, puis par 5^2, puis par 5^3,etc?
En déduire que q=249

1000/5=200 --> il y a donc 200 nombres nombres inférieurs ou égaux à 1000 divisibles par 5
1000/5^2=40 --> il y a donc 40 nombres nombres inférieurs ou égaux à 1000 divisibles par 5^2
1000/5^3=8 --> il y a donc 8 nombres nombres inférieurs ou égaux à 1000 divisibles par 5^3
1000/5^4=1,6 --> il y a donc 1 nombre nombres inférieurs ou égaux à 1000 divisible par 5^4
Mais je ne sais pas comment continuer. Ce que j'ai remarquer c'est que q=249=200 +40 +8 +1
Mais 200 +40 +8 +1 est la somme des nbs divisbles par 5, 5^2, 5^3, 5^4, et q est un exposant...
Je ne comprend pas cela

Donc dans 1000! tu trouves 249 fois le facteur 5!

3) Etablir que q<p et que q est le nombre cherché

Il y a bien plus de facteurs 2 dans 1000! que des facteurs 5. Donc q < p et 1000! est divisible par 10^q et pas par 10^q+1