extension de corps

Posté par mariemarie mariemarie

Bonjour, je préparais des exos pour un Td d'algèbre mais je reste bloquée sur cet exercice:

Soient E,F,L trois corps tels que EL et FL. On note E[F]=F[E] le sous-anneau de L engendré par EF.

1) Montrer que E[F]=F[E] est formé des éléments de la forme a₁b₁+...+a_nb_n avec a₁,...,a_n dans E, et b₁,...,b_n dans F.

2) Montrer que EF est le corps des fractions de E[F]=F[E].

Auriez-vous des pistes pour m'aider à commencer s'il vous plait? Merci.
Bonne journée.

Posté par Ksilver Ksilver

Salut !


pour 1) vérifie que l'ensemble des éléments de la forme "a1b1+...+anbn avec a1,...,an dans E, et b1,...,bn dans F." forme un anneaux, qu'il contiens E Union F, et que tous anneau qui contiens E et F contiens aussi cette anneau.

pour 2) et bien EF est un corps contenant E[F], il suffit de vérifier qu'il est minimal... et comme EF est déja le plus petit corps contenant E et F, c'est imédiat !

Posté par mariemarie mariemarie

Merci beaucoup de ton aide, je pense que je vais y arriver maintenant.

Posté par mariemarie mariemarie

Je viens de reprendre ce que tu m'as dit, mais je n'arrive pas à montrer que tout anneau contenant EF contient l'anneau des éléments de la forme "a1b1+...+anbn avec a1,...,an dans E, et b1,...,bn dans F."

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Un sous-anneau qui contient EF contient les produits d'un élément de E et d'un lément de F (donc les a_jb_j) et leur somme.

Posté par mariemarie mariemarie

Merci Camélia.