Forum : exponentielle logarithme :
logarithme népérien

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice , il y a des questions que j'ai faite mais je sais pas si elles sont bonnes et d'autres que j'arrive pas a faire . Merci d'avance
On cherche une fonction f telle que pour tous x et y de son ensemble de definition on ait :
(V): f(xy)=f(x)+f(y)

Cas trivial
si f est defini en appliquant (V) à x=y=0 déterminer f(0).
J'ai trouvé f(0*0)=f(0)+f(0)
donc f(0)=2*f(0)

En appliquant (V) avec y=0 determiner f(x) pour tout x réel
J'ai trouvé f(x*0)=f(x)+f(0)
donc f(x)= f(0)-f(0)
f(x)=0

Quelle fonction f obtient-on ? Verifie t-elle bien la relation (V) ? semble t-elle pertinente ?
là j'ai pas su répondre

salut

donc pour tout x, f(x)=0

c'est la fonction constante , f(x)=0 et elle vérifie (V) mais elle n'est pas très pertinente comme fonction ...

Merci  Disdrometre

Vous pouvez m'aider pour la suite ? On chercher une fonction f definie et derivable sur ]0;+l'infini[ qui vérifie (V).

En appliquant (V) à x=y=1 determiner f(1) .
j'ai trouvé f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)est ce bn ?

Ensuite on fixe a>0 il faut donner la dérivée de :
la fonction qui à x associe f(a)
la fonction qui à x associe f(x)+f(a)
la fonction qui à x associe f(ax)

là j'ai pas su du tout !

En appliquant (V) à x=y=1 determiner f(1) .
j'ai trouvé f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)est ce bn ?
oui
donc f(1)=0  

Ensuite on fixe a>0 il faut donner la dérivée de :
la fonction qui à x associe f(a)  => fonction constante => dérivée =0
la fonction qui à x associe f(x)+f(a) => la dérive est  f'(x)  ( c'est du cours)
la fonction qui à x associe f(ax) => la dérive est af'(ax) ( c'est du cours)

f(1)=0 ? ce n'est pas 2f(1) ?

pr la premiere derivee je comprends. pour
"la fonction qui à x associe f(x)+f(a) => la dérive est  f'(x)  ( c'est du cours)" je ne comprends pas

f(1)=2f(1) => f(1) -2f(1)=0 => f(1)=0

la dérivée d'une constante c'est quoi ?

la dérivée de f(x) +K  ( avec K une constante) qu'est-ce que c'est ?

c'est -f(1)=0 ?

-f(1)=0  => f(1)=-0=0

non ?

oui ! desole
peux tu m'expliquer pour
"la fonction qui à x associe f(x)+f(a) => la dérive est  f'(x) "

on ne peux pas donner quelque chose de précis puisquon ne connait pas f(x) ?

exact !

"la fonction qui à x associe f(ax) => la dérive est af'(ax)"

on a pas :
f'(ax)= u'v +uv' avec u=a u'=0
v=x v'=1
f'(ax)= 0*x + 1*a =a?

c'est plutôt la composition des fonctions

vou(x)=v(u(x))

on dérive  

u'(x)v'(u(x))

oui mais la question d'apres est en déduire qui si f verifie (V) pour tt x>0 f'(ax)=(1/a)*f'(x) puis que f'(a)=k/a

f(xy)=f(x)+f(y)

y=a

f(xa)=f(x)+f(a)

on dérive

a f'(ax) = f'(x)

=> f'(ax) =(1/a) f'(x)

si x=1  f'(a) = f'(1)/a

f'(1) est une constante qu'on peut noter k

donc f'(a)=k/a

....