Forum : arithmétique :
PGCD exo

salut les gars est ce qu'on pouurait m'aider sur cet exo ??

Soit n un entier naturel. On étudie l'équation (x - 2n)(y - 2n) = 2 n²  (1)  
dont les couples solutions sont éléments de Z²
1) Soit (x,y) une solution de (1) et d le PGCD de x - 2n et y - 2n .
    Démontrer que d est un diviseur de PGCD(x,y).
2) (x,y) étant une solution de (1), à partir de la relation
x² + y² =(x+y-2n)²,
    déduire que PGCD(x,y) divise d.
3) Montrer que si (x,y) est une solution de (1) alors PGCD(x,y) divise n.
4) Lorsque n=30 résoudre le système constitué de (1) et de PGCD(x,y)=1

merci d'avance!!

y a t-il quelqu'un pour m'aider
c'est vrai que la 1ère question n'est pas évidente...

salut.
parce j'ai pas étudier les maths en français pouvez vous que signifie  PGCD.je pense que je peut vous aider

salut ok go now !

le PGCD = le plus grand commun diviseur

moi j'ai trouvé que
d divise x-y ,nx et ny
alors? ça pourrait vous servir??  

on a d=PGCD (x-2n,y-2n)-->x-2n=kd et y-2n=k'd avec k^k'=1
d'autre part d  divise (x-2n) et divise (-2n) donc d  divise (x-2n)(y-2n) donc d   divise  2n2(la relation donnée)
*soit d divise 2
*soit d  divise n
si d  divise 2--->2=d*p  , p naturel ne prenant que les valeurs 1  ou  2 ,eton aura
x-dp=kd(  et y-dp=k'd ,k^k'=1, donc x=(k+p)d et y=(k'+p)d avec (k+p)^(k'+p)=1  donc d=PGCD(x,y).
si d  divise n.....le meme raisonnement

Pourrait on montrer que
si a² divise b² alors a divise b ??

c'est parce que chaque nombre naturel n s'écrit comme un produit de certains nombres premiers et n2 sera donc écrit sous forme de produit des carrés de ces nombres premiers

bonjour Matheux
1) si d divise x-2n et y-2n, (x-2n)/d * (y-2n)/d = 2n²/d² est un nombre entier, ainsi que 2 n/d
d divisant 2n et x-2n, d divise leur somme x
d divisant 2n et y-2n, d divise leur somme y
d divisant à la fois x et y, il divise le pgcd de x et de y

2)démonstration de la relation
équation (1) -> xy-2xn-2yn+2n² = 0
(x+y-2n)² = x²+y²+4n²+2xy-4xn-4yn
il faut démontrer que cela égale x²+y²
ou que 2xy+4n²+2xy-4xn-4yn = 0
en divisant par 2, on retrouve en effet : xy-2xn-2yn+2n² = 0
(x²+y²) = (x+y-2n)²
si f divise x et y, f² divise x², y² et (x+y-2n)²
f divise (x+y-2n) et y, donc leur différence (x-2n)
f divise (x+y-2n) et x, donc leur différence (y-2n)
tous les diviseurs communs à x et y sont communs à x-2n et à y-2n et réciproquement pgcd(x;y) = pgcd(x-2n;y-2n)

3) d divise 2n et d² divise 2n²
supposons que d ne divise pas n
dans sa décomposition en facteurs premiers, d a un facteur 2 de plus que n et d² deux facteurs 2 de plus de n² et un facteur 2 de plus que 2n²; d² ne serait pas un diviseur de 2n²

4) n = 30, 2n² = 1800
1800 = 2³ * 3² * 5² = 8*9*25
(x-2n)(y-2n) = (8*9*25)*1 = 1800*1
ou (8*9)*25 = 72*25
ou (8*25)*9 = 200*9
ou (9*25)*8 = 225*8
(x,y) = (1860,61) ou (132,85) ou (260,69) ou (285,68) ou leurs permutations
à vérifier en calculant !