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éléments algébriques et polynômes minimaux

Posté par
mariemarie
09-05-08 à 21:26

Bonsoir

Encore un soucis avec les extensions and co.
Voici l'énoncé:

Soient a,b deux éléments algébriques sur un corps F. Soient f,g les polynômes minimaux de a,b sur F, respectivement. On suppose que les degrés de f et g sont premiers entre eux. Montrer que g est un polynôme irréductible dans F(a)[X].

J'ai toujours dû mal à montrer que quelque chose est irréductible. Quels sont les critères principaux pour montrer l'irréductibilité(ou non) d'un élément, en général?

Merci

Posté par
Tigweg Correcteur
re : éléments algébriques et polynômes minimaux 10-05-08 à 19:36

Bonsoir mariemarie,




si g était réductible dans F(a), il s'écrirait:

g=P.h , avec 0 < deg(P) < deg(g) et P,h dans F(a)[X].





Comme g(b) = 0 , on peut supposer que P(b) = 0.

Quitte à considérer les diviseurs de P, on peut supposer P unitaire et irréductible.




P est donc le polynôme minimal de b sur F(a).

On en déduit, par le théorème de la base télescopique:



4$\rm [F(a,b):F]=\deg(P).\deg(f).




Soit Q le polynôme minimal de a sur F(b).


On obtient, de même:




4$\rm [F(a,b):F]=\deg(Q).\deg(g).


Il en résulte: 4$\rm \deg(P).\deg(f)=\deg(Q).\deg(g).





Comme deg(g) et deg(f) sont premiers entre eux, on en tire alors 4$\rm \deg(g)|\deg(P), ce qui contredit le fait que P est un diviseur propre de g.



Donc g est irréductible dans F(a)[X], ce qui a notamment pour conséquence que 4$\rm [F(a,b):F]=\deg(f).\deg(g).

Posté par
mariemarie
re : éléments algébriques et polynômes minimaux 11-05-08 à 09:47

Merci de tes précieuses indications.
Je ne connaissais pas ce théorème de la base télescopique.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : éléments algébriques et polynômes minimaux 11-05-08 à 10:51

Avec plaisir!

Tu connais forcément ce théorème même si on ne t'a pas dit son nom, c'est le premier qu'on étudie lorsqu'on fait des extensions de corps:

il dit simplement que si 4$K - L - M est une tour d'extensions finies, alors 4$ [M:K]= [M:L].[L:K] .

Posté par
mariemarie
re : éléments algébriques et polynômes minimaux 11-05-08 à 18:02

Ah d'accord, oui merci que je suis bête. C'est en effet le premier que j'ai fait

Merci beaucoup.
Bonne fin de week-end

Posté par
Tigweg Correcteur
re : éléments algébriques et polynômes minimaux 11-05-08 à 19:33

Mais il n'y a pas de quoi, bonne fin de week-end à toi aussi!



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