Forum : algèbre :
éléments algébriques et polynômes minimaux

Bonsoir

Encore un soucis avec les extensions and co.
Voici l'énoncé:

Soient a,b deux éléments algébriques sur un corps F. Soient f,g les polynômes minimaux de a,b sur F, respectivement. On suppose que les degrés de f et g sont premiers entre eux. Montrer que g est un polynôme irréductible dans F(a)[X].

J'ai toujours dû mal à montrer que quelque chose est irréductible. Quels sont les critères principaux pour montrer l'irréductibilité(ou non) d'un élément, en général?

Merci

Bonsoir mariemarie,




si g était réductible dans F(a), il s'écrirait:

g=P.h ,  avec 0 < deg(P) < deg(g) et P,h dans F(a)[X].





Comme g(b) = 0 , on peut supposer que P(b) = 0.

Quitte à considérer les diviseurs de P, on peut supposer P unitaire et irréductible.




P est donc le polynôme minimal de b sur F(a).

On en déduit, par le théorème de la base télescopique:








Soit Q le polynôme minimal de a sur F(b).


On obtient, de même:







Il en résulte:        





Comme deg(g) et deg(f) sont premiers entre eux, on en tire alors         ce qui contredit le fait que P est un diviseur propre de g.



Donc g est irréductible dans F(a)[X], ce qui a notamment pour conséquence que            

Merci de tes précieuses indications.
Je ne connaissais pas ce théorème de la base télescopique.

Avec plaisir!

Tu connais forcément ce théorème même si on ne t'a pas dit son nom, c'est le premier qu'on étudie lorsqu'on fait des extensions de corps:

il dit simplement que si       est une tour d'extensions finies, alors       .

Ah d'accord, oui merci que je suis bête. C'est en effet le premier que j'ai fait

Merci beaucoup.
Bonne fin de week-end

Mais il n'y a pas de quoi, bonne fin de week-end à toi aussi!