Forme quadratique + définition

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Forme quadratique + définition

Posté le 09-05-08 à 22:10

Posté par fusionfroide

lu'

Si on me demande de donner UNE définition d'une forme quadratique, que dois-je écrire ?

En effet, j'ai ces deux définitions :

*** Une forme quadratique sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel V de dimension n est une application $V->\mathbb{R}$ vérifiant :

$\forall \{e_1,...,e_n\}$ base de $V$ , il existe des coefficients $a_{ij}$ tels que : $q(x_1e_1+...+x_ne_n)=\Bigsum_{1\le i\le j\le n}a_{ij}x_ix_j$

*** Une forme quadratique de E est toute application $q : E->\mathbb{R}$ telle que :

--> $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in E, q(\lambda x)=\lambda^2q(x)$
--> l'application $b:=(x,y)->\frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)]$ est une FBS

Merci

re : Forme quadratique + définition

Posté le 09-05-08 à 22:13

Posté par robby3

Salut

moi je prefere la deuxieme

mais bon...

Bonne soirée

re : Forme quadratique + définition

Posté le 09-05-08 à 22:13

Posté par otto

Tu donnes celle que tu veux mais la seconde ne fait pas appel à une quelconque notion de dimension.

re : Forme quadratique + définition

Posté le 09-05-08 à 22:16

Posté par fusionfroide

Merci

Au fait, dans la première, pourquoi suffit-il de vérifier la relation dans une seule base de V

re : Forme quadratique + définition

Posté le 09-05-08 à 22:24

Posté par otto

Si tu changes de bases tu changes les coefficients.

En fait ce que la première définition dit c'est qu'une forme quadratique est un polynôme homogène du second degré.

Si tu changes de base tu changes les coefficients mais ça reste un polynôme homogène du second degré.

De mémoire si je ne dis pas de bétise on écrit ca matriciellement

tX.Q.X

et si on change de base j'imagine cela s'écrit
tXQ'X

qui reste un polynôme homogène du second degré en les composantes de X.

re : Forme quadratique + définition

Posté le 09-05-08 à 22:26

Posté par fusionfroide

D'accord merci otto ^^

re : Forme quadratique + définition

Posté le 10-05-08 à 15:11

Posté par soucou

Pour chercher la petite bête, on peut dire que la forme quadratique peut être identiquement nulle.

re : Forme quadratique + définition

Posté le 10-05-08 à 17:05

Posté par otto

Mais ça change quoi ?

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