Existence et unicité de la solution

Posté par houna30 houna30

bonjour a tous!
Le but de l'exercice est de montre que lensenble (E): e^x=1/x admet une unique solution dans l'ensemble R des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.

I Existence et unicité de la solution

on note f(x)= x- e^-x

1 démontrer que x est solution de l'equation (E) si et seulement si f(x)=0.

Ici je me suis dit qu'il fallait demontrer deux choses: x est solution de (E) donc f(x)=0 et f(x)= 0 donc x est solution de (E):
x solution de (E) :
e^x=1/x
x=e^(-x)
x - e^(-x) =0
f(x) = 0

f(x) = 0 :
x - e^(-x) =0
x=e^(-x)
e^x=1/x  d'où le résultat

2) Etude du signe de la fonction f
a. etudier le sens de variation de la fonction f sur R
b. en déduire que l'équation (E) possède une unique solution sur R, noté .
c. démontrer que appartient a l'intervalle [ 1/2 ; 1 ]
d. etudier le signe de f sur l'intervalle [ 0 ; ]

Posté par otto otto

Bonjour,
quel problème pour 2 ?

Notamment 2a est absolument trivial ...

Posté par houna30 houna30

salut otto
le problème c'est que je suis pas sûre de ma dérivée
je trouve f'(x)= 1 + e^(-x)

j'ai: e^(-x) < 0
donc  1 + e^(-x) < 0

donc f est croissante sur ] -oo ; 0] et décroissante sur [0 ; +oo[

c'est ça ?
merci de ton aide

Posté par otto otto

Bonjour

ta dérivée est bone, cela dit:

exp(-x) > 0 ... (propriété du cours)

Ensuite comment peux tu en déduire que f est croissante puis décroissante ?

Posté par houna30 houna30

si exp(-x) > 0 alors la dérivée est positive sur R d'où la fonction f est croissante sur R

c'est ca ?

Posté par otto otto

oui c'est bon.

Posté par d4-fr3sh d4-fr3sh

une petite aide s'impose mon ami
on a f(x)=x- e^-x
on a e^x =1/x
e^x-(1/x) =0, on met au mm dénomintaeur on a (xe^x-1)/x=0
on étudie qu (xe^x-1) = 0 car le dénominateur ne s'annule pas

f(x)=xe^x-1=0
f(x)=e^x(x-e^-x)=0 d'où x-e^-x=0 car pr tt x appartenant a R, e^x different de 0

Posté par d4-fr3sh d4-fr3sh

2) le signe de la dérivé, si c'est positif c'est croissant si c'est négatif c'est décroissant

3)tu utilise le TVI ( appelé aussi théoreme de bijection)

4)tu fé f(1/2) et  f(1) et tu regarde si sa appartient a [1/2,1]

5) la fonctino f est croisante entre [0,¤] (¤ c'est alpha) or f(¤)=0 donc...
tu fini

Posté par houna30 houna30

salut d4-fr3sh je ne comprend pas ce que tu as fait

merci otto pour la confirmation

Posté par houna30 houna30

ok merci d4-fr3sh pour les pistes a chaque question

Posté par otto otto

tu utilise le TVI ( appelé aussi théoreme de bijection)
Ce n'est pas le même théorème.

Posté par houna30 houna30

salut otto

en utilisant le TVI j'obtiens:

f est une fonction srictement croissante et continue sur R donc
f(]-oo;+oo]) (je sais pas si c'est ca )

Posté par houna30 houna30

je crois avoir trouvé:

f possède une unique solution sur R

ensuite pour la question 2b
f(1/2)= -0.11
f(1)=0.63
donc appartient à [1/2 ; 1]

ensuite le signe de f sur [0; ] f est positive sur cet intervalle car f(0) > 0 et comme f est croissante f( ) > 0

that's that ?