Forum : algèbre :
Application et Polynômes

Bonjour

citation :
Soit l'application qui à associe définie par a) Trouver l'unique valeur propre de b) Soit - Montrer que est un sev de . - Déterminer .

J'ai montré que est un endomorphisme de

a) On a

Déjà sinon est nul, exclu.

En identifiant on remarque sur le coefficient de plus bas degré qu'il faut que

b) - Le premier point c'est bon c'est le sous-espace propre.

- De nouveau en identifiant on remarque qu'alors est constant.

Jusque là c'est juste ? C'est pour pouvoir faire la suite.

Merci !

salut

à priori oui
en tout cas si P est constant alors (P)=2P puisque P(x+1)=P(x)

Salut carpediem

Je poursuis donc :

Toujours en identifiant je montre que .

Par ailleurs si alors donc .

Je dois montrer que la restriction de de à est bijective.

Donc que : est bijective, mais d'après l'inclusion on a un problème de surjectivité non ?

Ou alors il faut montrer que est bijective ? Dans ce cas j'y arrive sans problème.

La question qui suit est de montrer que est un automorphisme de .

Merci

C'est clair que phi_n ne peut pas tomber dans R[x] au complet, j'imagine qu'on restreint donc l'image d'arrivée à Rn[x] également.

Salut vieux,

Ben c'est facile pour phi. Tu considères une sorte de restriction de phi à Rn[X]. Du moins pour la surjection, ça réglera le prob.
Quant à l'injectivité, le prob est réglé depuis longtemps.

Oui donc c'est bien ce que je pensais l'énoncé n'est pas clair, on restreint l'arrivée aussi.

Et pour l'automorphisme ça en découle en prenant n suffisamment grand, je rédige ça comment ?

Pour la surjectivité:

tu sais que pour tout n phi_n est surjective, donc dès que tu te donnes un polynôme, il appartient à un certain Rn[x] donc c'est le phi_n d'un certain polynôme.

Je ferai comme ça:

Tu prends un poly P de degré n. phi réalise une bijection de Rn[X] dans lui même. Donc...

Méga trop grillé...

j'arrive un peu tard mais bon je vous soumets quand même l'idée:
deg[(P)]=deg(P) donc l'image de la base canonique est libre et comporte n+1 éléments donc il y a surjectivité... donc bijectivité donc automorphisme

Merci !

J'ai ensuite démontré les choses suivantes :



La restriction de à est une application injective.

La restriction de à est à valeur dans et bijective.

citation :
En déduire qu'il existe une suite de polynômes vérifiant : . Donner le degré de et son coefficient dominant.

Pour l'existence je dirais que d'après la bijectivité il existe un unique polynôme tel que :

soit encore et on pose .

Juste ?

Le raisonnement semble tenir la route...

Bonjour

Je n'ai pas tout lu depuis le début, mais ça a l'air juste!

Bonjour et merci

Je continue alors :

Soit , car

Et on remarque que .

Donc et

La seule chose qui me gêne est la constante ...

Juste sinon ?

Attends, il y a quelque chose qui cloche... U₀=1 est de degré 0. Alors il faut poser une récurrence: Supposons que pour 0 kn-1, U_n-1 soit de degré n-1 et que son coefficient dominant a_n-1=1/(n-1)!.

Alors de U_n(X+1)-U_n(X)=U_n-1(X) tu tires comme tu l'as déjà fait la vérification de l'hérédité.

D'accord j'ai compris, donc je corrige .

Et pour la constante c'est génant ? Car on est censer avoir .

Ensuite on me demande de calculer pour et en déduire l'expression de , pour le moment je ne vois pas, je continue à chercher..

Merci

Attends... je ne vois pas de ...

Au pif, je dirais que U_n=Xⁿ/n!

Là, je m'en vais... Si l'équipe de nuit ne l'a pas fini, on peut continuer demain...

Le c'est la constante que j'ai signalé avec les accolades à 16:11.

Je ne doute pas de ton excellent flair mais on n'a à priori pas ??

D'accord merci Camélia, bonne soirée à demain

Rien de tel qu'un bon bain, pour vous reveiller les neurones!

Essaye

A demain...

Ah oui effectivement ça fonctionne

J'essayerai de voir demain comment on aboutit au résultat, merci !

Je soupçonne une erreur d'énoncé sur le point suivant (que je pensais avoir démontré) :

citation :
La restriction de à est à valeur dans et bijective.

Ce ne serait pas faux ceci ?

Ce qui expliquerait pourquoi je me retrouverais avec une constante ...

Merci

Rebonjour

-2Id Oui, ceci est faux! Si tu prends P(X)=X² tu as (P)-2P=(X+1)²+X²-2X²=2X+1

Je t'ai dit que je n'avais pas tout lu... mais pourquoi avais-tu besoin de ça?

Parce que je me suis servi de la bijectivité de cette application pour en déduire l'existence de donc du coup ça foire non ?

Non, ça foire pas... -2Id est à valeurs dans R_n-1[X] son noyau est de dimension 1 (les constantes), donc elle est de rang n, donc son image est bien R_n-1[X]. Pour U_n-1 supposé défini, il y a donc des polynômes tels que (P)=U_n-1 et deux tels polynômes différent par une constante. Il y en a donc un et un seul qui s'annule en 0.

Ah oui d'accord

L'expression de tu l'as trouvé au feeling ? :S

Je connaissais l'histoire et j'ai fini par me rappeler.

Alors, ou bien tu écris les polynômes de bas degré, tu devines la forme que tu vérifies, ou tu démontres par récurrence que U_n s'annule pour p=0,...,n-1 ce qui a l'air d'être la méthode suggérée...

Y a-t-il un sujet d'algèbre linéaire que tu ne connais pas ?

citation :
Montrer que tout polynôme de s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des .

Ici j'ai dis simplement que les constituent une famille de polynômes tels que et donc qu'ils forment une base de degrés échelonnés de .

Juste ?

En revanche pour déterminer la valeur propre je crois avoir été un peu trop rapide, l'identification dont je parlais ne fonctionne à priori pas

Je réfléchis de nouveau.

Oui en fait je crois plutôt qu'il fallait identifier les termes dominants

_{[Mode Monologue]}

Ayé j'ai réussi à finir tout ça !

Merci à tous