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Application et Polynômes

Posté par
infophile 10-05-08 à 17:24

Bonjour

Citation :
Soit l'application qui à 3$ \rm P\in \mathbb{R}[X] associe 3$ \rm \phi(P) définie par 3$ \rm \phi(P)(X)=P(X+1)+P(X)

a) Trouver l'unique valeur propre 3$ \rm \lambda_0 de 3$ \rm \phi

b) Soit 3$ \rm E=\{P\in \mathbb{R}[X], \phi(P)=\lambda_0P\}

- Montrer que 3$ \rm E est un sev de 3$ \rm \mathbb{R}[X].

- Déterminer 3$ \rm E.


J'ai montré que 3$ \rm \phi est un endomorphisme de 3$ \rm \mathbb{R}[X]

a) On a 3$ \rm P(X+1)=(\lambda_0-1)P(X)\Right a_n(X+1)^n+...+a_1(X+1)+a_0=a_n(\lambda_0-1)X^n+...+a_1(\lambda_0-1)X+(\lambda_0-1)a_0

Déjà 3$ \rm \lambda_0\neq 1 sinon 3$ \rm P est nul, exclu.

En identifiant on remarque sur le coefficient de plus bas degré qu'il faut que 3$ \rm (\lambda_0-1)=1\Leftright \fbox{\lambda_0=2}

b) - Le premier point c'est bon c'est le sous-espace propre.

- De nouveau en identifiant on remarque qu'alors 3$ \rm P est constant.

Jusque là c'est juste ? C'est pour pouvoir faire la suite.

Merci !

Posté par
carpediemapplication et polynômes 10-05-08 à 17:33

salut

à priori oui
en tout cas si P est constant alors (P)=2P puisque P(x+1)=P(x)

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 10-05-08 à 17:43

Salut carpediem

Je poursuis donc :

Toujours en identifiant je montre que 3$ \rm Ker(\phi)=\{0\}.

Par ailleurs si 3$ \rm deg(P)\le n alors 3$ \rm deg(\phi(P))\le n donc 3$ \rm \phi(\mathbb{R}_n[X])\subset \mathbb{R}_n[X].

Je dois montrer que la restriction de 3$ \rm \phi_n de 3$ \rm \phi à 3$ \rm \mathbb{R}_n[X] est bijective.

Donc que : 3$ \rm \phi_n:\mathbb{R}_n[X]\to \mathbb{R}[X] est bijective, mais d'après l'inclusion on a un problème de surjectivité non ?

Ou alors il faut montrer que 3$ \rm \phi_n : \mathbb{R}_n\to \mathbb{R}_n est bijective ? Dans ce cas j'y arrive sans problème.

La question qui suit est de montrer que 3$ \rm \phi est un automorphisme de 3$ \rm \mathbb{R}[X].

Merci

Posté par
ottore : Application et Polynômes 10-05-08 à 18:12

C'est clair que phi_n ne peut pas tomber dans R[x] au complet, j'imagine qu'on restreint donc l'image d'arrivée à Rn[x] également.

Posté par
1 Schumi 1re : Application et Polynômes 10-05-08 à 18:16

Salut vieux,

Ben c'est facile pour phi. Tu considères une sorte de restriction de phi à Rn[X]. Du moins pour la surjection, ça réglera le prob.
Quant à l'injectivité, le prob est réglé depuis longtemps.

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 10-05-08 à 18:18

Oui donc c'est bien ce que je pensais l'énoncé n'est pas clair, on restreint l'arrivée aussi.

Et pour l'automorphisme ça en découle en prenant n suffisamment grand, je rédige ça comment ?

Posté par
ottore : Application et Polynômes 10-05-08 à 18:21

Pour la surjectivité:

tu sais que pour tout n phi_n est surjective, donc dès que tu te donnes un polynôme, il appartient à un certain Rn[x] donc c'est le phi_n d'un certain polynôme.

Posté par
1 Schumi 1re : Application et Polynômes 10-05-08 à 18:26

Je ferai comme ça:

Tu prends un poly P de degré n. phi réalise une bijection de Rn[X] dans lui même. Donc...

Posté par
1 Schumi 1re : Application et Polynômes 10-05-08 à 18:27

Méga trop grillé...

Posté par
carpediemapplication et polynômes 10-05-08 à 19:37

j'arrive un peu tard mais bon je vous soumets quand même l'idée:
deg[(P)]=deg(P) donc l'image de la base canonique est libre et comporte n+1 éléments donc il y a surjectivité... donc bijectivité donc automorphisme

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 11-05-08 à 15:25

Merci !

J'ai ensuite démontré les choses suivantes :

3$ \rm \red \fbox{.} 3$ \rm \mathbb{R}[X]=E\bigoplus X\mathbb{R}[X]

3$ \rm \red \fbox{.} La restriction de 3$ \rm \phi-2Id à 3$ \rm X\mathbb{R}[X] est une application injective.

3$ \rm \red \fbox{.} La restriction de 3$ \rm \phi-2Id à 3$ \rm X\mathbb{R}_{n-1}[X] est à valeur dans 3$ \rm X\mathbb{R}_{n-1}[X] et bijective.

3$ \rm \red \fbox{.} 3$ \rm deg((\phi-2Id)(P))=deg(P)-1

Citation :
En déduire qu'il existe une suite de polynômes 3$ \rm (U_n)_{n\in \mathbb{N}} vérifiant :

3$ \rm \{U_0=1\\\forall n>0, U_n(0)=0 et U_n(X+1)=U_n(X)+U_{n-1}(X).

Donner le degré de 3$ \rm U_n et son coefficient dominant.


Pour l'existence je dirais que d'après la bijectivité il existe un unique polynôme 3$ \rm U_n tel que :

3$ \rm (\phi-2Id)(U_n)=P soit encore 3$ \rm U_n(X+1)-U_n(X)=P(X) et on pose 3$ \rm P(X)=U_{n-1}(X).

Juste ?

Posté par
1 Schumi 1re : Application et Polynômes 11-05-08 à 15:31

Le raisonnement semble tenir la route...

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 11-05-08 à 15:32

Bonjour

Je n'ai pas tout lu depuis le début, mais ça a l'air juste!

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 11-05-08 à 16:11

Bonjour et merci

Je continue alors :

Soit 3$ \rm p=deg(U_n), 3$ \rm \{U_n(X+1)=a_p(X+1)^p+a_{p-1}(X+1)^{p-1}+...+a_1(X+1)\\U_n(X)=a_pX^p+a_{p-1}X^{p-1}+...+a_1X car 3$ \rm U_n(0)=0

Et on remarque que 3$ \rm U_{n-1}(X)=U_n(X+1)-U_n(X)=pa_pX^{n-1}+...+(\underbrace{a_p+...+a_1}_{\alpha}).

Donc 3$ \rm \fbox{p=deg(U_n)=1+deg(U_{n-1})=...=n+U_0=n+1} et 3$ \rm \fbox{a_n=(n+1)a_{n+1}}

La seule chose qui me gêne est la constante 3$ \rm \alpha...

Juste sinon ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 11-05-08 à 16:28

Attends, il y a quelque chose qui cloche... U0=1 est de degré 0. Alors il faut poser une récurrence: Supposons que pour 0 kn-1, Un-1 soit de degré n-1 et que son coefficient dominant an-1=1/(n-1)!.

Alors de Un(X+1)-Un(X)=Un-1(X) tu tires comme tu l'as déjà fait la vérification de l'hérédité.

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 11-05-08 à 16:41

D'accord j'ai compris, donc je corrige 3$ \rm \{deg(U_n)=n\\a_n=\frac{1}{n!}.

Et pour la constante 3$ \rm \alpha c'est génant ? Car on est censer avoir 3$ \rm U_{n-1}(X)\in X\mathbb{R}_{n-1}[X].

Ensuite on me demande de calculer 3$ \rm U_n(p) pour 3$ \rm p<n et en déduire l'expression de 3$ \rm U_n, pour le moment je ne vois pas, je continue à chercher..

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 11-05-08 à 16:46

Attends... je ne vois pas de ...

Au pif, je dirais que Un=Xn/n!

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 11-05-08 à 16:48

Là, je m'en vais... Si l'équipe de nuit ne l'a pas fini, on peut continuer demain...

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 11-05-08 à 16:51

Le 3$ \rm \alpha c'est la constante que j'ai signalé avec les accolades à 16:11.

Je ne doute pas de ton excellent flair mais on n'a à priori pas 3$ \rm \frac{(X+1)^n}{n!}=\frac{X^n}{n!}+\frac{X^n}{(n-1)!} ??

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 11-05-08 à 16:52

D'accord merci Camélia, bonne soirée à demain

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 11-05-08 à 19:48

Rien de tel qu'un bon bain, pour vous reveiller les neurones!

Essaye U_n(X)=\frac{X(X-1)...(X-n+1)}{n!}

A demain...

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 00:47

Ah oui effectivement ça fonctionne

J'essayerai de voir demain comment on aboutit au résultat, merci !

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 16:42

Je soupçonne une erreur d'énoncé sur le point suivant (que je pensais avoir démontré) :

Citation :
3$ \rm \red \fbox{.} La restriction de 3$ \rm \phi-2Id à 3$ \rm X\mathbb{R}_{n-1}[X] est à valeur dans 3$ \rm X\mathbb{R}_{n-1}[X] et bijective.


Ce ne serait pas faux ceci ?

Ce qui expliquerait pourquoi je me retrouverais avec une constante 3$ \rm \alpha...

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 12-05-08 à 16:50

Rebonjour

-2Id Oui, ceci est faux! Si tu prends P(X)=X2 tu as (P)-2P=(X+1)2+X2-2X2=2X+1

Je t'ai dit que je n'avais pas tout lu... mais pourquoi avais-tu besoin de ça?

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 16:53

Parce que je me suis servi de la bijectivité de cette application pour en déduire l'existence de 3$ \rm U_n donc du coup ça foire non ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 12-05-08 à 17:01

Non, ça foire pas... -2Id est à valeurs dans Rn-1[X] son noyau est de dimension 1 (les constantes), donc elle est de rang n, donc son image est bien Rn-1[X]. Pour Un-1 supposé défini, il y a donc des polynômes tels que (P)=Un-1 et deux tels polynômes différent par une constante. Il y en a donc un et un seul qui s'annule en 0.

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 17:13

Ah oui d'accord

L'expression de 3$ \rm U_n tu l'as trouvé au feeling ? :S

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 12-05-08 à 17:19

Je connaissais l'histoire et j'ai fini par me rappeler.

Alors, ou bien tu écris les polynômes de bas degré, tu devines la forme que tu vérifies, ou tu démontres par récurrence que Un s'annule pour p=0,...,n-1 ce qui a l'air d'être la méthode suggérée...

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 17:37

Y a-t-il un sujet d'algèbre linéaire que tu ne connais pas ?

Citation :
Montrer que tout polynôme de 3$ \rm \mathbb{R}[X] s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des 3$ \rm (U_n).


Ici j'ai dis simplement que les 3$ \rm (U_n) constituent une famille de polynômes tels que 3$ \rm deg(U_n)=n et donc qu'ils forment une base de degrés échelonnés de 3$ \rm \mathbb{R}[X].

Juste ?

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 18:38

En revanche pour déterminer la valeur propre je crois avoir été un peu trop rapide, l'identification dont je parlais ne fonctionne à priori pas

Je réfléchis de nouveau.

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 18:47

Oui en fait je crois plutôt qu'il fallait identifier les termes dominants

[Mode Monologue]

Posté par
infophilere : Application et Polynômes 12-05-08 à 22:19

Ayé j'ai réussi à finir tout ça !

Merci à tous

Posté par
Camélia Correcteurre : Application et Polynômes 13-05-08 à 14:20


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