Forum : algèbre :
chaînes de Markov

Bonjour,

J'ai un projet d'informatique à établir ( en scilab), j'ai choisi un sujet sur des populations de gènes, et j'étudie leur évolution au cours des générations, j'ai donc découvert l'univers des chaines de Markov.
Je pense avoir résolu tous mes problèmes au niveau informatique, il me reste actuellement la théorie ( ce qui pourra ensuite éventuellement changer mes objectifs de programmation pour mettre en évidence quelques résultats théoriques)..

dans mon modèle 1 j'ai calculé ma matrice de Markov elle a pour coefficient pij défini par


où 2N est ma population de gènes totale

La population reste constante au cours de l'expérience, dans ce modèle chaque gène est indépendant des autres.

J'ai pu lire dans la documentation que je possède que la théorie montre qu'au bout d'un certaine temps la loi de probabilité est indépendante de la loi initiale. Comment pourrais je montrer cela mathématiquement ?

Ensuite je sais que dans ce type de modèle on est sur qu'un état absorbant va être atteint. Mon programme me le confirme. Comment puis je le montrer?
Si on note Xn le nombre d'un certain type de gène ( disons a ) à la n ième génération on a
en notant P ma matrice de Markov, il suffirait donc de calculer les puissances n ime de la matrice, chose simple avec une matrice nilpotente  ou avec des chiffres bien concret, mais avec cetta matrice j'ai beaucoup de mal, j'ai songé à utiliser que la somme des lignes était égal à 1 pour calculer les valeurs propres mais je n'aboutis pas. On peut lire dans la doc que 1 - 1/(2N) est valeur propre ( la plus grande en valeur abs) mais qu'en faire ?

J'ai pu lire que le temps d'extinction d'un gène croit à peu près linéairement avec la taille de la population, j'ai voulu mettre en évidence cela dans mon programme mais malheureusement je n'ai jamais obtenu de choses linéaires seulement des courbes vaguement croissantes, cette donnée est elle éronée ? y a t'il des variations plus précises de ce genre d'évolution ?

Si quelqu'un a des idées qui pourraient être intéressantes pour ma présentation je suis preneuse, sachant que j'ai un niveau de licence ( bientôt) en maths, et en informatique , un niveau assez limité ( je me débrouille seulement)

Merci à tous ceux qui pourront m'aider
Bon weekend

Mellepapillon

Bonjour mellepapillon,

Plutôt que de balancer la formule pour , pourrais-tu dire d'où vient-elle ?

hi!

je vais expliquer d'où vient ma formule:
à la n ième génération on considère qu'il y a i gènes a et donc 2N-i gènes A  ( on a une population totale de gènes de 2N)

à la n+1 ème génération chaque gène à la probabilité i/(2N) d'être a et donc 1-i/(2N) d'être A ( chaque gène est indépendant des autres)

ainsi la probabilité de transition est

... la formule que j'ai donné ( on fait du dénombrement j parmis 2N plus les probabilités)

voilà pour ma formule...

Salut,

J'y connais rien en gène. Que se passe-t-il entre la n-ième génération et la (n+1)-ième génération ?

Et qu'est-ce que représente ta chaîne de Markov ? Le nombre de gènes "a" ?

Le problème c'est que je ne m'y connais rien en chaine de Markov.
Ce que j'ai compris en regardant l'article de Wikipidia c'est que pij c'est ma matrice de transition
et que


voilà à quoi correspond chaque élément, mais peu importe, j'aimerai trouver  une démonstration générale, qui explique ce fonctionnement théorique de ce genre de matrice, pourquoi il y a ces comportements... pour pouvoir mieux comprendre pour quoi le problème évolue ainsi.

Quelqu'un pourrait il m'expliquer comment je peux démontrer tout ça ?
Merci d'avance.

Ben pour connaitre la théorie y'a des cours pour ça, et on en trouve sur le ouebbe.

Je sais très bien ce qu'est une chaîne de Markov, mais tu ne dis pas ce que représente dans ton problème...

À mon goût ce sont pas les résultats généraux sur les chaines de Markov qui te permettront d'approfondir la compréhension de ton problème. Justement si tu nous disais ce que représente et comment se passe le passage de  n  à  n+1  cela permettrait peut-être de résoudre tes questions avec intelligence et non pas en appliquant des résultats généraux ou en faisant des calculs bourrins.

Mais bon comme tu ne veux pas dire...

D'accord, merci en tout cas de t'intéresser à mon truc.
Xn c'est le nombre de gènes a dans ma population à la nième génération.

Ok et que se passe-t-il entre  n  et  n+1 ?

Bonjour,
Je suis désolée je n'ai pas accès toujours à internet... finalement je suis allée voir mon prof qui m'a expliqué pleins de trucs.
Merci beaucoup en tout cas pour ton aide...
bon courage

Ok tu veux pas me dire quand même ce qui se passe entre  n  et  n+1 ?