Forum : équations et inéquations :
Exercice d'encadrement

Bonjour à tous !

exercice 1 :
x est un nombre entier relatif ! trouver x pour que x et x+ 1/3 et 5 soient les cotés d'un triangle

exercice 2 :
a et b sont 2 nombres entiers relatifs positifs avec :
   a²+b² est compri entre ab et 2ab

trouver l'encadrement de (a+b)(1/a +1/b)

exercice 3 :

Comparer x et y dans les cas suivant

x= 7311/7312 et y=9413/9414      
x=102/103 et y=99/100
x=741253/741254 et y=742253/742254

je n'ai rien compri ! enfin je n'ai pas su comment travailler ! quelqu'un pourrait t il m'aider ?

Bonjour Kenzo

Exo 2:
Tes données sont aba²+b²2ab

(a+b)(1/a +1/b)= (a+b)(b+a)/ab (mise au même dénominateur)
= (a²+2ab+b²)/ab = (a²+b²+2ab)/ab (tu as le droit d"écrire que c'est égal à ((a²+b²)/ab) + ((2ab)/ab)
= ((a²+b²)/2) + 2
or ab2ab or a et b sont positifs non nuls donc tu peux simplifier par ab et tu obtiens
ab/ab(a²+b²)/ab2ab/ab
12
donc 1+2(a²+b²)/22+2
3(a²+b²)/ab4

J espère que cela est clair

pour l'exo 3 je suppose qu'il te suffit de faire tes calculs à la calculatrice

merci beaucou !

et pour lexo 1 ?

Comme tu (ne) le sais (peut-être pas) la somme des côtés d'un triangle est inférieure à l'hypothénuse
Donc x + x + 1/3 5
Tu ne peux prendre que 5 comme hypothénuse car si tu tu prenais x ou x + 1/3 les x s"annuleraient et cela ne fonctionnerait pas

2x+1/35 tu mets tout au même dénominateur
(2x fois 3 +1)/3(5 fois 3)/3 Etant donné que c'est le même dénominateur pour chaque membre de l'équation tu n'en tiens pas compte ce qui donne
6x+115
6x15-1
6x14
x14/6 Donc la valeur de x qui convient est 14/6

mais si tu simplifies tu obtiens 7/3

Oops je n'avais pas vu qu'il s'agissait d'un nombre entier relatif Désolé
donc 7/32,33 alors quel est le nombre entier qui suit 7/3 (2,33)?????
x=3 est la valeur cherchée

Maintenant que ton problème est résolu marci de me dire si tu as tout compris

kikoo

mercii beaucou !!!!!!!!!!! je vous remercie du fond du coeur !!
Oui j'ai très bien compri ! mercii pour tout !!
quelqu'un a une idée pour le 3eme exercice ?

mais je t ai déjà répondu pour le 3

ah ok mercii beuacou mais je ne comprend pas pour lexercice 2 !

est ce que (a+b)(1/a + 1/b) = (a+b) (b+a)/ab !!

pourquoi ? je n'ai pas compri cette egalité

1/a + 1/b = (1 x b +1 x a)/(a x b) car tu mets au même dénominateur ce qui te donne (b+a)/ab

et javoue que je n'ai pas compri non plus celle ci
((a²+b²)/ab) + ((2ab)/ab)
= ((a²+b²)/2) + 2
?????????????????
pk 2 ?

(a+b) (b+a)/ab = [(a+b)(a+b)]/ ab
Je suppose que tu sais maintenant déveloper

aah ok mercii beaucou ! je ten suis reconnaissante

oui mais si on developpe ,nous n'obtiendrions pas ((a²+b²)/2) + 2
je suppose !

pouvez vous l'expliquer ? svp

si tu as(a²+b²+2ab)/ab (tu as le droit d"écrire que c'est égal à ((a²+b²)/ab) + ((2ab)/ab)
= ((a²+b²)/2) + 2

exemple si tu as (2 + 5)/ 3 cela  peut s'écrire 2/5 + 5/3 donc ((a²+b²)/ab) + ((2ab)/ab)
= ((a²+b²)/2) + 2

2ab/ab (c'est comme 2x3/3 ce qui te donne 2

et la fin aussii en dernier pourquoi avez vous ajouter 2 ?

Non c'est exact si tu tu développes (a+b)(a+b) tu obtiens(a²+b²+2ab)

AH OK

et a la fin de lerxercice1+2(a²+b²)/22+2
pourquoi avez vous ajouter 2 ?

Parce qu il s agit d un encadrement et que connais celui de  ((a²+b²)/ab)
En faisant tes calculs tu cherches l encadrement de ((a²+b²)/ab) + ((2ab)/ab)
= ((a²+b²)/ab) + 2
Donc tu ajoutes 2 de part et d autre de ton inéquation

merci encore

J'espère que tu as compris sinon relis un peu tout ce que j'ao écrit
Je dois te quitter car ici il est presque 2 heures du matin (alors si tu as une dernière question vas y sinon je te souhaite une bonne soirée et si tu as besoin de plus ne te gêne pas

oui oui cela est clair

merci beauucou et dssl pour le dérangement ! il est 2 h du matin ?
vous habitez ou ?

Ok bonne soirée Kenzo
Apprends bien tes cours

OK

MERCI pour le précieux conseil !

bonjour Kenzo et Mathsud
exercice 2
si a²+b² <= 2ab, alors a²+b²-2ab <= 0; (a-b)² <= 0; (a-b)² = 0; a-b = 0; a = b
le problème devient : trouver l'encadrement de 2a * 2/a
il est évident que 2a * 2/a est constamment égal à 4

exercice 3
si b > a  > c > 0
ac < bc
ac / ab < bc / ab
c/b  < c/a
-c/a < -c/b (multiplication par -1)
1 - c/a < 1 - c/b
a/a - c/a < b/b - c/b
(a-c)/a < (b-c)/b
dans le premier exemple, a = 7312, b = 9414 (les dénominateurs) et c = 1
mais comme dans les trois cas, c = 1, le raisonnement peut se simplifier
a / ab < b / ab
1/b < 1/a
-1/a < -1/b
1 - 1/a < 1 - 1/b
a/a - 1/a < b/b - 1/b
(a-1)/a < (b-1)/b
dans les trois cas, la plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur

Bonjour ,
je rectifie l'exercice 3

1)a et b sont 2 nombres entiers relatifs tel que a supérieur a 0
                                               b supérieur a 0
                                               a inférieur a b

Montrer que :
1- 1/a est inférieur de 1- 1/b


2)Comparer x et y dans les cas suivant

x= 7311/7312 et y=9413/9414      
x=102/103 et y=99/100
x=741253/741254 et y=742253/742254

voila

ooh oh

MERCII BEAUCOU j'ai trouvé comment faire grâce a vous !
je vous remecie du fond du coeur

(bonjour Kenzo désolé d'utiliser cette messagerie mais j'ai besoin d'éclaircir un petit problème)

Bonjour Plumeteore

je suis un peu confus car je ne vois pas mon erreur dans ma résolution (ce serait gentil de bien vouloir m'éclairer)

On a  aba²+b²2ab
donc ab/ab(a²+b²)/ab2ab/ab
soit 1(a²+b²)/ab2
Or (a+b)(1/a +1/b)
= (a+b)(b+a)/ab
= (a²+2ab+b²)/ab
= ((a²+b²)/ab  + ((2ab)/ab)
= ((a²+b²)/ab) + 2
On en déduit que 1+2[(a²+b²)/ab] +22+2
D'où 3[(a²+b²)/ab] +24
Alors 3(a+b)(1/a + 1/b)4

En espèrant que tu auras le temps de m répondre prochainement

Mathstud

De plus je ne comprends pas très bien ce qui suit

si a²+b² <= 2ab, alors a²+b²-2ab <= 0; (a-b)² <= 0; (a-b)² = 0; a-b = 0; a = b
le problème devient : trouver l'encadrement de 2a * 2/a
il est évident que 2a * 2/a est constamment égal à 4

Pour moi cela signifie que dans ce cas là a²+a²=2a² et que tout a convient
Mais que fais tu de l'autre membre de l'inéquation où aba²+b²
Désolé mais je suis vraiment confus

bonsoir
ab <= a²+b² <= 2ab
mais comme a²+b²-2ab est le carré positif ou nul de (a-b)² :
a²+b²-2ab >= 0 et a²+b² >= 2ab
la seule solution pour qu'il n'y ait pas d'incohérence est que a²+b² soit égal à 2ab
par ailleurs ab est strictement inférieur à 2ab donc strictement inférieur à a²+b², qui est l'égal de 2ab

Merci plumemeteore
Je comprends mieux ton raisonnement [dans ta correction tu avais écrit (a-b)² <= 0 et c'est cela qui me génait] mais je me permets d'insister sur ce que tu penses de la correction que j'ai postée à 20h07
La raison de mon insistance est qu'il s'agit d'un devoir de 4° (déjà étonnant qu'on leur parle d'encadrement à leur niveau) et qu'il leur est impossible de passer d'une forme développée à une forme factorisée (Identité remarquables ne sont vues qu"en 3°)
merci encore de prendre le temps

bonjour Mathsud
ta solution de samedi à 19h16 est bonne, mais il y a quelques inattentions :
troisième ligne; il faut = ((a²+b²)/ab) + 2
sixième ligne; il faut 1 <= (a²+b²)/ab <= 2
septième ligne : il faut donc 1+2 <= (a²+b²)/ab <= 2+2

Bonjour Plumeteore
Merc. Effectivement j'avais fait des erreurs de frappe (que j'avais rectifiées à 20h07) mais me voilà rassuré
J'espère que tu m'aideras à nouveau lors d'un de mes DM (1°S) comme tu l'as fait dans le passé
Amicalement