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Officiel de la Taupe 57a

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pourla première question:si sont les ordonnées de trois points de la parabole tels que les normales en ces points sont concourantes je trouve
donc l'isobarycentre des trois points est sur l'axe des x

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les ordonnées des éventuels points communs à la parabole et à un cercle d'équation (x-a)²+(y-b)²=r² sont solutions de l'équation (y²/2p-a)²+(y-b)²-r²=0 ,équation de degré 4 sans terme de degré 3 donc si le cercle et la parabole ont 4 points en commun l'isobarycentre de ces 4 points est d'ordonnée nulle

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C'est bien le résultat, avec une démonstration bien plus simple que celle que j'avais trouvée dans le cas des points cocycliques.
Il manque une petite précision: l'ensemble est-il tout l'axe (Ox)? Ou seulement une partie ?

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j'avoue que je n'y ai pas reflèchi,il faut sans doute enlever le point O
si on se donnesur la 1/2 parabole au dessus de Ox et leurs symétriques par rapport à Ox l'abscisse de l'isobarycentre des 4 points (qui sont cocycliques)c'est
il reste à répondre à la question :est ce que     m>0 il existe une corde M₀M₁ de la 1/2 parabole dont le milieu est d'abscisse m,il me semble que oui mais je vais dormir

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On paramètre la parabole P par:

L'équation de la normale N(t) à P en un point M de paramètre t est:



Supposons que 3 normales soient concourantes en un point  . D'après ce qui précède, sont solutions de l'équation:  

En particulier:   . Et, si on note les 3 points de P en lesquels sont normales à P et G l'isobarycentre de ces 3 points, on a::

citation :
Donc, l'isobarycentre de 3 points de la parabole dont les normales sont concourantes est situé sur l'axe de cette parabole, d'équation

Complément 1: Est-ce toute la droite?

Avec les notations précédentes, on a:

Réciproquement, soit avec . Il existe alors tel que  .


On choisit . Il est clair que sont trois points de P, dont l'isobarycentre est égal à ,et dont les normales sont concourantes en un point de l'axe , cette dernière affiramtion parce que est symétrique par rapport à l'axe .

citation :
Donc, l'ensemble des isobarycentres de 3 points de la parabole dont les normales sont concourantes est la demi-droite et

Complément 2: si l'isobarycentre de 3 points de la parabole est situé sur l'axe focal, les normales en ces 3 points sont-elles concourantes ?


La réponse est positive, voir l'exercice 125a. Non, je ne veux pas recopier ma solution de l'exercice 125a.

Les points cocycliques, avec un grand merci à veleda pour m'avoir communiqué une solution simple

Supposons que 4 points de paramètres de la parabole P appartiennent à un même cercle de centre (a,b), de rayon R, donc d'équation:  

Alors, sont solutions de l'équation: donc de l'équation:  
En particulier:

Et, si on note G l'isobarycentre de , on a:    

citation :
Donc, l'isobarycentre de 4 points cocycliques de la parabole est situé sur l'axe de cette parabole, d'équation

Complément 3: Est-ce toute la droite?

Avec les notations précédentes, on a:

Réciproquement, soit avec . Il existe alors tel que . On choisit . Il est clair que sont 4 points de P, dont l'isobarycentre est égal à .
Il reste à montrer que ces 4 points sont cocycliques. Pour cela, on remarque que la médiatrice de recoupe l'axe en un point . Le cercle de centre et de rayon passe par les 4 points (ne pas oublier que P est symétrique par rapport à (Ox)).

citation :
Donc, l'ensemble des isobarycentres de 4 points cocycliques de la parabole est la demi-droite et }}

Complément 4: si l'isobarycentre de 4 points de la parabole est situé sur l'axe focal, ces 4 points sont-ils cocycliques ?

La réponse est positive. On rappelle d'abord que 4 points A,B,C,D d'affixes a,b,c,d sont cocycliques ou alignés si et seulement si  leur birapport est réel.
Or, le birapport de 4 points de la parabole P, de paramètres vaut:


La partie imaginaire de vaut:          merci à Maple qui a réalisé le calcul

Ce qui termine la démonstration: les 4 points sont cocycliques si et seulement si   ...

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merci pour le complément 4
je n'avais pas cherché et comme je calcule à la main je ne sais pas si je vais avoir le courage de m'y mettre