Fonction F et intégrale

Posté par loloteaide loloteaide

Bonsoir !

S'il vous plait , pouvez vous m'aider à faire cette exercice ?
Il me pose des problèmes ,et je n'y arrive pas !
Merci


Soit la fonction F définie sur l'intervalle I=[0;+oo[ par F(x) = ₀S^xt.e^-1 dt
1.Déterminer le signe de F
2.Etudier le sens de variation de F
3.Démontrer que pour tout réel t> ou égal à 0,t t + 1/4
4.En déduire que,pour tout réel x0, F(x) 5/4

Je vous remercie par avance pour vos indications et aides !

Posté par mikayaou mikayaou

bonsoir

c'est e^-t , non ?

Posté par loloteaide loloteaide

oui pardon erreur de frappe !

Posté par mikayaou mikayaou

que penses-tu du signe de F ?

Posté par loloteaide loloteaide

Je pense que F est positif , en faite je n'arive à distinguer que deux cas :
F(0) = 0
et F(x) appartient à l'intervalle [0;+oo[
et F'(x) = f(x) tel que f(x) = t. e^-t
t > 0 et e^-t > 0 donc f(x)>0 soit F'(x) >0 , donc F(x) est strictement croissante sur [0 ; +oo[
et pour x=0 , F(0) = 0
        x> 0 , F(x) > 0
Est -ce que cette justification est correcte ou l'on me demande plus de précision , ou une meilleure formulation ? Ce que je ne comprend pas c'est que là j'étudie le sens de variation de f pour en déterminer le signe ,mais on me demande les questions dans l'ordre contraire ?

Posté par loloteaide loloteaide

bonjour , personne peut me dire si c'est correct? Merci encore

Posté par loloteaide loloteaide

Aidez moi , il faut vraiment que je termine cet exercice ! Que pensez vous de mes premières réponses? merci

Posté par loloteaide loloteaide

bonjour ,quelqu'un peut il m'aider ?

Posté par loloteaide loloteaide

plz j'ai besoin d'aide !

Posté par loloteaide loloteaide

help plz

Posté par yoyodada yoyodada

du calme du calme !! pas de panique !!

pour tes deux premieres réponses, je pense que c'est correct.
pour ce qui est de l'ordre: une intégrale est positive lorsque la fonction est positive: comme ta fonction intégrée est positive, l'intégrale est positive.
D'où il sort que la fonction intégrée, étant la dérivée de l'intégrale, puisqu'elle est positive, l'intégrale est croissante.

pour les autres questions:

3) soit f(x) = racine(t) - t - 1/4
je te laisse terminer.

4) utilisant ce résultat.
Pour t > 0, tu multiplies les 2 côtés de ton inégalité par exp(t):
racine(t)*exp(-t) <  (t+1/4)*exp(-t)
donc Int.(0-x) de racine(t)*exp(-t).dt < Int.(0-x)de (t+1/4)*exp(-t)

je te laisse terminer celle là aussi.

Posté par yoyodada yoyodada

erratum:

"Pour t > 0, tu multiplies les 2 côtés de ton inégalité par exp(t):" c'est évidemment exp(-t) et non exp(t).

Posté par loloteaide loloteaide

jen 'ai pas très bien compris pour la c , excusez moi car j'ai affirmer dans mes premières réponses que
f(x) > 0
donc si soit f(x) = racine(t) - t -1 /4
racine(t) -t - 1/4 > 0
racine (t) > t + 1/4
donc je pense que je dois plutôt imposer comme condition :
soit f(x) = racine(t) + t + 1/4 ?

après pour le c je n'y arrive pas :
Int.(0-x) de racine(t)*exp(-t).dt < Int.(0-x)de (t+1/4)*exp(-t)
F(X) < e^-x(-x - 5/4) + 5/4
(c'est ce que je trouve par une intégration par partie ?)
Merci pour ton aide encore ,et par avance !

Posté par yoyodada yoyodada

en fait, en considérant f(x) = racine(t) - t - 1/4, tu dois ici montrer justement que f(x) est toujours négative, donc que racine(t) - t - 1/4 < 0
d'où racine(t) < t + 1/4

Comment montrer que f(x) est toujours négative ?

Posté par loloteaide loloteaide

bah je ne sais pas , et c'est en contradiction avec ce que j'ai marqué en a et b , car si f est toujours négative donc F est strictement décroissante , vous êtes sûr que j'ai bon déjà pour le a et le b ?

Posté par yoyodada yoyodada

pour ton intégration par partie c'est la bonne valeur !

donc tu as prouvé que F(x) < e-x(-x - 5/4) + 5/4
Or pour tout x > 0, -x - 5/4 < 0
Donc exp(-x).(-x-5/4) < 0
Donc exp(-x).(-x-5/4) + 5/4 < 5/4

et voilà c'est fait.

Posté par yoyodada yoyodada

non attend attend:

la fonction f que tu considères est une fonction "crée" par toi , ce n'est pas la fonction racine(t).exp(-t) qui elle est toujours positive.
Ta fonction f(x) créée ne te sert qu'à démontrer ton inégalité (c'est une commodité si tu veux, un moyen plus pratique)

c'est vrai que le choix du nom "f"est mauvais car il peut pretter à confusion avec F (l'intégrale). ...excuse moi.

Pour me faire pardonner:
considères phi(x) = racine(x) - x - 1/4
maintenant montre que phi(x) < 0 pour tout x > 0.

Posté par loloteaide loloteaide

pour tout x>0
racine(x) > 0
- x <0 pour x de [0 ; +00[
donc on pose[ (racine(x) - x - 1/4 )(racine(x)+x+1/4) ] / (racine(x) + x +1/4)
ce qui donne phi(x) = (-2/4x - 1/16) / (racine(x) + x + 1/4)
or (racine(x) + x + 1/4) > 0
et (-2/4x - 1/16) > 0 lorsque x < 1 / 8. donc on en déduit que pour tout x > 0 , (-2/4x - 1/16) < 0
En faisant un tableau de signe , on trouve que phi(x)< 0
donc si phi(x) < 0
(racine(x) - x - 1/4 )< 0
donc racine(x) < x +1/4
Est -ce le bon raisonnement ?
je vous remercie !

Posté par loloteaide loloteaide

erreur : (-2/4x - 1/16) > 0 lorsque x < -1 / 8.

Posté par loloteaide loloteaide

yoyodada ,est -ce bon ?

Posté par loloteaide loloteaide

s'il vous plait ,dites moi si c'est bon ? Merci par avance

Posté par yoyodada yoyodada

je ne comprends pas vraiment comment tu passes de:

[ (racine(x) - x - 1/4 )(racine(x)+x+1/4) ] / (racine(x) + x +1/4)

= (-2/4x - 1/16) / (racine(x) + x + 1/4)

il me semble que c'est une identité remarquable de la forme (a+b)(a-b) = a² - b²
d'où (racine(x) - x - 1/4 )(racine(x)+x+1/4) = [racine(x)]² - (x+1/4)² = x - (x²+x/2 + 1/16) = -x² + x/2 - 1/16   et non -2/4 x - 1/16

mais sinon, ma solution était de proposer
phi(x)= racine(x) - x -1/4
donc phi'(x) = 1/2racine(x) - 1
phi'(x) = [1 - 2racine(x) ]/2racine(x)

or 2racine(x) > 0 pour x > 0
et 1 - 2racine(x) > 0 si x < 1/4, vaut 0 pour x = 1/4 et < 0 si x > 1/4

Donc ton tableau de variation est :
croissante de 0 à 1/4, maximum en 1/4 et décroissante de 1/4 à l'infini.
Donc le max de phi(x) est phi(1/4) = racine(1/4) - 1/4 - 1/4 = 0

Donc phi(x) < ou égale à 0
D'où ce qu'on doit prouver.

Posté par loloteaide loloteaide

d'accord ! Merci beaucoup pour l'aide !