suite et intégrale
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suite et intégrale
Posté le 11-05-08 à 10:42
Posté par 
skendaou skendaou
Bonjour j'ai un Dm à faire et je suis bloqué sur le deuxième exercice alors voilà l'énoncé:
I est la suit définie pour tout entier n
1 par In=0
1 t^n*e^-t*dt.
1)a. Calculer I1=01 te^-t*dt à l'aide d'une intégration par parties.
b. Avec la méthode d'intégration par parties, exprimer I2 en fonction de, I1.
En déduire la valeur de I2.
c. Exprimer I3 en fonction de I2, puis calculer I3.
2) a. Justifier l'existence de l'intégrale qui définit In.
b. Démontrer que pour tout entier n1, In0.
c. Etudier le sens de variation de la suite I.
d. Démontrer que la suite I est convergente.
3)a.A l'aide de la méthode d'intégration par parties, exprimer In+1 en fonction de In.
b. Démontrer que pour tout entier n1, I
1/ne.
c. En déduire la limite de la suite I.
merci d'avance pour votre aide
skendaou skendaouBonjour j'ai un Dm à faire et je suis bloqué sur le deuxième exercice alors voilà l'énoncé:
I est la suit définie pour tout entier n
1 par In=01 t^n*e^-t*dt.1)a. Calculer I1=0
1 te^-t*dt à l'aide d'une intégration par parties.b. Avec la méthode d'intégration par parties, exprimer I2 en fonction de, I1.
En déduire la valeur de I2.
c. Exprimer I3 en fonction de I2, puis calculer I3.
2) a. Justifier l'existence de l'intégrale qui définit In.
b. Démontrer que pour tout entier n
1, In0.c. Etudier le sens de variation de la suite I.
d. Démontrer que la suite I est convergente.
3)a.A l'aide de la méthode d'intégration par parties, exprimer In+1 en fonction de In.
b. Démontrer que pour tout entier n
1, I1/ne.c. En déduire la limite de la suite I.
merci d'avance pour votre aide
re : suite et intégrale Posté le 11-05-08 à 10:58
Posté le 11-05-08 à 10:58Posté par Nicolas_75 Nicolas_75 
Non. Ce qui est sous l'intégrale est positif, donc l'intégrale doit l'être également.
Montre tes calculs...
Nicolas_75 Nicolas_75 Non. Ce qui est sous l'intégrale est positif, donc l'intégrale doit l'être également.
Montre tes calculs...
re : suite et intégrale Posté le 11-05-08 à 11:04
Posté le 11-05-08 à 11:04Posté par skendaou skendaou
I1=(de0 à 1) te^-t*dt
soit u'(x)=1 donc u(x)=tx
et v(x)e^-t donc v'(x)=e^-t
(de 0 à 1)te^-t*dt=[txe^-t](de 0 à 1)-(de 0 à 1)te^-t
=[te^-t]]-(de0 à 1)te^-t
skendaou skendaouI1=
(de0 à 1) te^-t*dtsoit u'(x)=1 donc u(x)=tx
et v(x)e^-t donc v'(x)=e^-t
(de 0 à 1)te^-t*dt=[txe^-t](de 0 à 1)-(de 0 à 1)te^-t=[te^-t]]-
(de0 à 1)te^-tre : suite et intégrale Posté le 11-05-08 à 11:05
Posté le 11-05-08 à 11:05Posté par skendaou skendaou
soit u'(x)=1 donc u(x)=tx
et v(x)e^-t donc v'(x)=e^-t
(de 0 à 1)te^-t*dt=[txe^-t](de 0 à 1)-(de 0 à 1)te^-t
=[te^-t]]-(de0 à 1)te^-t
skendaou skendaousoit u'(x)=1 donc u(x)=tx
et v(x)e^-t donc v'(x)=e^-t
(de 0 à 1)te^-t*dt=[txe^-t](de 0 à 1)-(de 0 à 1)te^-t=[te^-t]]-
(de0 à 1)te^-tre : suite et intégrale Posté le 11-05-08 à 11:23
Posté le 11-05-08 à 11:23Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
Je ne comprends pas.
Déjà, on ne devrait pas parler de u(x) ou v(x), mais de u(t) et v(t), puisque t est la variable d'intégration (ou variable muette) !
Ensuite, si u'(t) = 1, alors u(t) = t et non pas ce que tu dis.
Enfin, si v(x) = e^-t, alors v'(x) = -e^-t et non pas ce que tu dis.
Propose quelque chose de corrigé...
Nicolas_75 Nicolas_75 Je ne comprends pas.
Déjà, on ne devrait pas parler de u(x) ou v(x), mais de u(t) et v(t), puisque t est la variable d'intégration (ou variable muette) !
Ensuite, si u'(t) = 1, alors u(t) = t et non pas ce que tu dis.
Enfin, si v(x) = e^-t, alors v'(x) = -e^-t et non pas ce que tu dis.
Propose quelque chose de corrigé...
re : suite et intégrale Posté le 11-05-08 à 11:42
Posté le 11-05-08 à 11:42Posté par skendaou skendaou
(de oà 1)te^-tdt=[te^-t](de 0 à 1)-(de oà 1)1*e^-tdt
=[te^-t](de 0 à1)-[e^-t](de0à 1)
=t
c'est ça?
skendaou skendaou(de oà 1)te^-tdt=[te^-t](de 0 à 1)-(de oà 1)1*e^-tdt=[te^-t](de 0 à1)-[e^-t](de0à 1)
=t
c'est ça?
re : suite et intégrale Posté le 11-05-08 à 11:45
Posté le 11-05-08 à 11:45Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
Je repète qu'une primitive de e^-t est MOINS e^-t.
Ce MOINS se neutralise avec celui devant l'intégrale.
De plus, à la fin, il est impossible d'avoir du "t". Il faut remplacer par 0 et 1.
Je suggère que tu révises ton cours sur l'IPP, puis revienne ici finir l'exercice. Cela sera alors plus simple.
Nicolas_75 Nicolas_75 Je repète qu'une primitive de e^-t est MOINS e^-t.
Ce MOINS se neutralise avec celui devant l'intégrale.
De plus, à la fin, il est impossible d'avoir du "t". Il faut remplacer par 0 et 1.
Je suggère que tu révises ton cours sur l'IPP, puis revienne ici finir l'exercice. Cela sera alors plus simple.
re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 16:51
Posté le 12-05-08 à 16:51Posté par skendaou skendaou
bonjour alors j'ai réessayer de le faire et je tombe sur ça:
[(t²/2)*e^-1 -t]-(de 0 à 1) t^n+1/n+1 *(-e^-t)
et je n'arrive pas à conclure
skendaou skendaoubonjour alors j'ai réessayer de le faire et je tombe sur ça:
[(t²/2)*e^-1 -t]-
(de 0 à 1) t^n+1/n+1 *(-e^-t)et je n'arrive pas à conclure
re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 17:01
Posté le 12-05-08 à 17:01Posté par skendaou skendaou
je me suis trompé je trouve:
[(1^n+1/n+1)*e^-1]-(de 0 à 1)(1^n+1/n+1 *(-e^-1)
skendaou skendaouje me suis trompé je trouve:
[(1^n+1/n+1)*e^-1]-
(de 0 à 1)(1^n+1/n+1 *(-e^-1)re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 21:34
Posté le 12-05-08 à 21:34Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
1.a.
On intègre par parties, en dérivant
et en intégrant 
:
![3$I_1=\left[t(-e^{-t})\right]_0^1-\Bigint_0^11\times(-e^{-t})\mathrm{d}t](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_1=\left[t(-e^{-t})\right]_0^1-\Bigint_0^11\times(-e^{-t})\mathrm{d}t)
![3$I_1=\left[-te^{-t}\right]_0^1+\Bigint_0^1e^{-t}\mathrm{d}t](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_1=\left[-te^{-t}\right]_0^1+\Bigint_0^1e^{-t}\mathrm{d}t)
![3$I_1=\left[-te^{-t}-e^{-t}\right]_0^1](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_1=\left[-te^{-t}-e^{-t}\right]_0^1)
Sauf erreur.
Nicolas_75 Nicolas_75 1.a.
On intègre par parties, en dérivant
Sauf erreur.
re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 21:43
Posté le 12-05-08 à 21:43Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
1.c.
On intègre par parties, en dérivant
et en intégrant :
![3$I_3= \left[t^3(-e^{-t})\right]_0^1-\Bigint_0^13t^2\times(-e^{-t})\mathrm{d}t](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_3= \left[t^3(-e^{-t})\right]_0^1-\Bigint_0^13t^2\times(-e^{-t})\mathrm{d}t)
![3$I_3= \left[-t^3e^{-t}\right]_0^1+3\Bigint_0^1t^2e^{-t}\mathrm{d}t](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_3= \left[-t^3e^{-t}\right]_0^1+3\Bigint_0^1t^2e^{-t}\mathrm{d}t)
![3$I_3= \left[-t^3e^{-t}\right]_0^1+3I_2](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_3= \left[-t^3e^{-t}\right]_0^1+3I_2)
Sauf erreur.
Nicolas_75 Nicolas_75 1.c.
On intègre par parties, en dérivant
Sauf erreur.
re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 21:47
Posté le 12-05-08 à 21:47Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
2.a. La fonction sous l'intégrale est continue, donc intégrable. Donc In est bien définie.
2.b. La fonction sous l'intégrale est positive. Donc l'intégrale In est positive.
Nicolas_75 Nicolas_75 2.a. La fonction sous l'intégrale est continue, donc intégrable. Donc In est bien définie.
2.b. La fonction sous l'intégrale est positive. Donc l'intégrale In est positive.
re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 21:48
Posté le 12-05-08 à 21:48Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
2.c.
t^ne^{-t}\mathrm{d}t)
Ce qui est sous l'intégrale à droite est négatif sur [0;1].
Donc l'intégrale de droite est négative.
Donc la suite (In) est décroissante.
Nicolas_75 Nicolas_75 2.c.
Ce qui est sous l'intégrale à droite est négatif sur [0;1].
Donc l'intégrale de droite est négative.
Donc la suite (In) est décroissante.
re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 21:49
Posté le 12-05-08 à 21:49Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
2.d. La suite (In) est décroissante et minorée (par zéro), donc convergente.
Nicolas_75 Nicolas_75 2.d. La suite (In) est décroissante et minorée (par zéro), donc convergente.
re : suite et intégrale Posté le 12-05-08 à 21:54
Posté le 12-05-08 à 21:54Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
3.a.
On intègre par parties, en dérivant
et en intégrant :
![3$I_{n+1}= \left[t^{n+1}(-e^{-t})\right]_0^1-\Bigint_0^1(n+1)t^n\times(-e^{-t})\mathrm{d}t](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_{n+1}= \left[t^{n+1}(-e^{-t})\right]_0^1-\Bigint_0^1(n+1)t^n\times(-e^{-t})\mathrm{d}t)
![3$I_{n+1}= \left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1+\Bigint_0^1(n+1)t^ne^{-t}\mathrm{d}t](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_{n+1}= \left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1+\Bigint_0^1(n+1)t^ne^{-t}\mathrm{d}t)
![3$I_{n+1}= \left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1+(n+1)\Bigint_0^1t^ne^{-t}\mathrm{d}t](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_{n+1}= \left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1+(n+1)\Bigint_0^1t^ne^{-t}\mathrm{d}t)
![3$I_{n+1}= \left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1+(n+1)I_n](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$I_{n+1}= \left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1+(n+1)I_n)
I_n-\frac{1}{e}})
Sauf erreur.
Nicolas_75 Nicolas_75 3.a.
On intègre par parties, en dérivant
Sauf erreur.
re : suite et intégrale Posté le 13-05-08 à 20:46
Posté le 13-05-08 à 20:46Posté par skendaou skendaou
bonjour tout d'abord merci beaucoup pour toute votre mais j'ai une question:
je ne comprend pas pourquoi dans la question 2)c ce qui est à droite de l'intégrale est négatif sur [0;1]???
merci
skendaou skendaoubonjour tout d'abord merci beaucoup pour toute votre mais j'ai une question:
je ne comprend pas pourquoi dans la question 2)c ce qui est à droite de l'intégrale est négatif sur [0;1]???
merci
re : suite et intégrale Posté le 13-05-08 à 21:39
Posté le 13-05-08 à 21:39Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
Je t'en prie.
Tu demandes pourquoit^ne^{-t})
est négatif quand appartient à ![3$[0;1]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$[0;1])
.
Tout simplement :
est négatif
est positif
est positif
donc leur produit est négatif.
Nicolas_75 Nicolas_75 Je t'en prie.
Tu demandes pourquoi
Tout simplement :
donc leur produit est négatif.
re : suite et intégrale Posté le 13-05-08 à 22:41
Posté le 13-05-08 à 22:41Posté par skendaou skendaou
d'accord merci!!
et est-ce que pour la 3)b il faut faire une démo par récurrence?
skendaou skendaoud'accord merci!!
et est-ce que pour la 3)b il faut faire une démo par récurrence?
re : suite et intégrale Posté le 13-05-08 à 22:50
Posté le 13-05-08 à 22:50Posté par Nicolas_75 Nicolas_75
Je ne comprends pas l'énoncé. Quel est ce "I" à gauche de l'inégalité ?
Nicolas_75 Nicolas_75 Je ne comprends pas l'énoncé. Quel est ce "I" à gauche de l'inégalité ?
re : suite et intégrale Posté le 14-05-08 à 18:17
Posté le 14-05-08 à 18:17Posté par Marcel Marcel
Bonjour,
Si tu étais allé voir au lien que je t'ai indiqué plus haut (mon message du 11/05/2008 à 10:53), tu aurais vu que les questions 3a et 3b y étaient traitées (et si tu sais faire 3a, tu sais faire 1a, 1b et 1c).
Rapidement :
Pour la question 3a :
In+1 = ∫ (0 à 1) tn+1.e-t dt
On intègre par parties :
In+1 = [-tn+1.e-t] (0 à 1) + (n+1).∫ (0 à 1) tn.e-t dt = -(1/e) + (n+1)In
Pour la question 3b :
La suite I est décroissante
Donc In+1-In ≤ 0
Donc (-1/e)+(n+1)In-In ≤ 0
Donc (-1/e)+nIn ≤ 0
Donc nIn ≤ 1/e
Donc In ≤ 1/(ne)
Pour la question 3c :
0 ≤ In ≤ 1/(ne)
Puis on utilise le théorème des gendarmes ...
Marcel MarcelBonjour,
Si tu étais allé voir au lien que je t'ai indiqué plus haut (mon message du 11/05/2008 à 10:53), tu aurais vu que les questions 3a et 3b y étaient traitées (et si tu sais faire 3a, tu sais faire 1a, 1b et 1c).
Rapidement :
Pour la question 3a :
In+1 = ∫ (0 à 1) tn+1.e-t dt
On intègre par parties :
In+1 = [-tn+1.e-t] (0 à 1) + (n+1).∫ (0 à 1) tn.e-t dt = -(1/e) + (n+1)In
Pour la question 3b :
La suite I est décroissante
Donc In+1-In ≤ 0
Donc (-1/e)+(n+1)In-In ≤ 0
Donc (-1/e)+nIn ≤ 0
Donc nIn ≤ 1/e
Donc In ≤ 1/(ne)
Pour la question 3c :
0 ≤ In ≤ 1/(ne)
Puis on utilise le théorème des gendarmes ...
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