Forum : équations différentielles :
équation différentielle du 2° degré.

bonjour à tous et à toutes.
mon petit soucie, comme le dit le titre, est en faite du à une bête équation différentielle du 2°degré. mais c'est principalement la dernière question qui me pose le plus de problème. Autant vous prévenir que mes dernière question se porte sur deux sujets différents dont voici les énoncés:

énoncé 1:
"On considère l'équation différentielle   (E) : 4y"+9y=0
dans laquelle l'inconnue y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur, et y" la dérivée seconde de y.

1/ Résoudre dans l'équation (E).
2/ Déterminer la solution particulière f de (E) telle que
f(/6)=0   et   f'(/6)= 2."

énoncé 2:
"1/ Résoudre dans l'équation différencielle y"+ y/4 =0 dans laquelle l'inconnue y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur, et y" la dérivée seconde de y.
2/ a/ déterminer la solution particulière f de cette équation différentielle vérifiant,
f(/2)=2  et  f'()=-(1/2)
   b/ vérifier que, pour tout x de ,
f(x)= 2.cos((x/2)-(/4))."

voici maintenant les réponses apportées à mes exercices:

pour l'énoncé 1:
soit (E): 4y"+9y=0

1/ cette équation différentielle est équivalente à y"+9y/4=0
cette équation différentielle  est de la forme y"+²y=0 avec =3/2
les solutions sont donc les fonctions: y = A cos 3/2 x + B sin 3/2 x.
                                                           y' = - 3/2 A sin 3/2 x + 3/2 B cos 3/2 x.
                                                           y" = - 9/4 A sin 3/2 x - 9/4 B cos 3/2 x.
                                                   donc y" = - 9/4 y.
2/ pour f(/6)=0 j'ai trouvée (22)/2*(A+B)=0
pour f'(smb]pi[/smb]/6)=2 j'ai trouvée B = A2

et c'est ici que je coince parce que je voudrée touver A et B mais je n'y arrive pas donc je voudrais savoir ou se trouve mon érreur. merci davance de bien vouloir répondre à cette question.

pour l'énoncé 2:
soit y"+y/4=0
cette équation différentielle  est de la forme y"+²y=0 avec = 1/2.
les solutions sont donc les fonctions: y = A cos 1/2 x + B sin 1/2 x.
                                                           y' = - 1/2 A sin 1/2 x + 1/2 B cos 1/2 x.
                                                           y" = - 1/4 A sin 1/2 x - 1/4 B cos 1/2 x.
2/ a/ pour f(/2)=2 j'ai trouvée B=22
pour f'(smb]pi[/smb])=-1/2 j'ai trouvée A = 1.
donc y = 1 cos 1/2 x + 22 sin 1/2 x.

et mon soucie à présent est que je ne vois pas comment répondre à la question 2/ b/ . je m'en remets à vos conseilles et vos explications. merci pour tous ce qui voudron bien répondre à cette question.

Un grand merci à tous ceux qui auront le temps de me répondre et de m'aider...
merci d'avance.

Bonjour,

pour le premier énoncé, tu as mal factorisé dans la condition initiale sur f, c'est plutôt:

   .

Pour la deuxième condition initiale (sur f'), je trouve     c'est-à-dire

Conclusion:


Pour le deuxième énoncé, tu as encore fait une erreur de calcul me semble-t-il, la condition sur f s'écrit:


  


et celle sur f' s'écrit:




soit  , sauf erreur.

Pour vérifier la formule annoncée, il suffit alors de la développer en utilisant les formules d'addition (cos(a+b)=...)

puis de constater qu'on tombe bien sur la solution qu'on a écrite.  

merci pour tes conseils
a++

De rien.

bonjour à tous...
et oui je reviens à la charge avec un nouvel énoncé et cette fois ci la dernière question est assez confuse. voici le sujet: (en gras ce seront les réponses)

" Soit f la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par :
f(x)= 4 cos ((x/3)-(/6)).
1/ a) montrer que, pour tout x de ,
f(x)= 23 cos(x/3)+ 2 sin(x/3)

j'ai utilisée la formule suivante:
cos (a-b) = cos a . cos b + sin a . sin b
de tel façon à ce que je trouve ce qui est demandé et je tombe bien sur le résultat f(x).

1/ b) résoudre l'équation différentielle 9y"+y=0 où y désigne une fonction définie et deux fois dérivable sur.

soit 9y"+y=0
cette éq. diff. est équivalente à y"+(y/9)=0.
cette éq. diff. est de la forme y"+²y=0 avec =1/3
les solutions sont donc les fonctions:
y= A cos x/3 + B sin x/3.

1/ c)montrer que f est une solution de cette équation différentielle.

et c'est ici que vous devez m'éclairer de vos lumières car cette question est, selon moi, mal posée ou alor je ne la comprend pas...

merci par avance à tous ceux qui auront prix le temps de vouloir répondre a mon problème. merci encore et à bientôt.

Salut

La question est très bien posée, et la réponse est clairement oui:

Pour tout choix des réels A et B, tu as montré que la fonction A cos x/3 + B sin x/3 est solution de l'équation différentielle 9y"+y=0.

En particulier si tu choisis   et  

Ce qui revient à choisir f.

Donc f est bien solution de l'équation différentielle 9y"+y=0, je ne comprends pas ce qui te turlupine.

D'ailleurs, tu peux aussi le vérifier directement en calculant 9f"+f.

est bien ce qui me turlupinais c'était de savoir quel f(x) il fallait que j'utilise parce que j'ai : f(x)=4 cos ((x/3)-(/6))
et f(x)= 23 cos x/3 + 2 cos x/3

mais maintenant c'est devenue plus claire je te remercie Tigweg pour ton aide ...
ça m'aide beaucoup en ce moment

En fait tes deux expressions de f sont égales, tu peux donc utiliser celle que tu veux!

Avec plaisir.