Forum : probabilités :
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posté le 11/05/2008 à 15:43Théorème
posté par : kopindoSalut tous le monde.h'ai besoin de coup de main pour démontrer ce blem.
Théorème:
Soit X un variable aléatoire ces pramètres sont n et p (X un variable aléatoire binominale)
On a : p
[0,1] et n 
*
E(x)=np et V(x)=np(1-p)
Démontrer ce thérème.
SVP j'ai besoin de cette démonstration pour demain.
Théorème:
Soit X un variable aléatoire ces pramètres sont n et p (X un variable aléatoire binominale)
On a : p
[0,1] et n *E(x)=np et V(x)=np(1-p)
Démontrer ce thérème.
SVP j'ai besoin de cette démonstration pour demain.
posté le 11/05/2008 à 15:48re : Théorème
posté par : 
Nicolas_75 (Correcteur)Bonjour,
Sais-tu que P(X=k)= C(n;k)p^k(1-p)^(n-k) ?
Nicolas
Sais-tu que P(X=k)= C(n;k)p^k(1-p)^(n-k) ?
Nicolas
posté le 11/05/2008 à 15:52re : Théorème
posté par : Nicolas_75 (Correcteur)Je ne comprends pas ton dernier message. La réponse à ma question est-elle oui ou non ?
posté le 11/05/2008 à 15:55re : Théorème
posté par : Nicolas_75 (Correcteur)Le SMS est interdit sur ce forum. Merci d'en tenir compte.
Deuxième question, ensuite je t'aide : quelle est la définition de l'espérance dans le cas d'une variable aléatoire X quelconque ?
Deuxième question, ensuite je t'aide : quelle est la définition de l'espérance dans le cas d'une variable aléatoire X quelconque ?
variant de i=1 à p (xi.p(X=xi)) posté le 11/05/2008 à 16:15re : Théorème
posté par : Nicolas_75 (Correcteur)Donc, dans le cas qui nous occupe :
=\Bigsum_{0\le k\le n}k.\mathbb{P}(X=k))
=\Bigsum_{0\le k\le n}k.{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k})
Comment calculer cela ?
On sait que :
^n=\Bigsum_{0\le k\le n}{n\choose k}x^k)
On dérive chaque membre par rapport à x :
^{n-1}=\Bigsum_{1\le k\le n}k{n\choose k}x^{k-1})
On rajoute dans le membre de droite le terme (nul) correspondant à k=0 :
^{n-1}=\Bigsum_{0\le k\le n}k{n\choose k}x^{k-1})
On multiplie chaque membre par x :
^{n-1}=\Bigsum_{0\le k\le n}k{n\choose k}x^{k})
On choisit = p/(1-p) :
^{n-1}= \Bigsum_{0\le k\le n}k{n\choose k}\left(\frac{p}{1-p}\right)^{k})
^{n}= \Bigsum_{0\le k\le n}k{n\choose k}\left(\frac{p}{1-p}\right)^{k})
On multiplie chaque membre par (1-p)^n :
^{n-k})
Donc finalement :
=np})
Comment calculer cela ?
On sait que :
On dérive chaque membre par rapport à x :
On rajoute dans le membre de droite le terme (nul) correspondant à k=0 :
On multiplie chaque membre par x :
On choisit = p/(1-p) :
On multiplie chaque membre par (1-p)^n :
Donc finalement :
posté le 11/05/2008 à 19:49re : Théorème
posté par : Nicolas_75 (Correcteur)Autre méthode :
Par définition de la loi binomiale
où pour tout
de 
, 
prend la valeur 
avec une probabilité 
et 
avec une probabilité 
.
=1\times p+0\times(1-p)=p)
Comme l'espérance est linéaire :
=\mathbb{E}(X_1)+...+\mathbb{E}(X_n))
=p+...+p)
Par définition de la loi binomiale
où pour tout
Comme l'espérance est linéaire :
posté le 11/05/2008 à 19:53re : Théorème
posté par : Nicolas_75 (Correcteur)Variance - méthode 1
Par définition de la loi binomiale
où pour tout de , prend la valeur avec une probabilité et avec une probabilité .
=\mathbb{E}((X_k-p)^2)= p\times(1-p)^2+(1-p)\times(0-p)^2=p(1-p))
Comme la variance est linéaire :
=\mathbb{V}(X_1)+...+\mathbb{V}(X_n))
=p(1-p)+...+p(1-p))
=np(1-p)})
Par définition de la loi binomiale
où pour tout
Comme la variance est linéaire :
posté le 11/05/2008 à 19:54re : Théorème
posté par : Nicolas_75 (Correcteur)(La variance est linéaire car les sont indépendants.)
posté le 11/05/2008 à 20:11re : Théorème
posté par : Nicolas_75 (Correcteur)Variance - méthode 2
=\mathbb{E}(X^2)-\left(\mathbb{E}(X)\right)^2)
=\Bigsum_{0\le k\le n}k^2{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}-(np)^2)
On a vu dans un calcul plus haut que :
^{n-1}=\Bigsum_{0\le k\le n}k{n\choose k}x^k)
On dérive encore par rapport à
:
^{n-1}+n(n-1)x(1+x)^{n-2}=\Bigsum_{1\le k\le n}k^2{n\choose k}x^{k-1})
On arrange le membre de gauche, et complète le membre de droite :
(1+x)^{n-2}=\Bigsum_{0\le k\le n}k^2{n\choose k}x^{k-1})
On multiplie chaque membre par :
(1+x)^{n-2}=\Bigsum_{0\le k\le n}k^2{n\choose k}x^{k})
On choisit
:
\left(1+\frac{p}{1-p}\right)^{n-2}= \Bigsum_{0\le k\le n}k^2{n\choose k}\left(\frac{p}{1-p}\right)^{k})
\left(\frac{1}{1-p}\right)^{n-2}= \Bigsum_{0\le k\le n}k^2{n\choose k}\left(\frac{p}{1-p}\right)^{k})
On multiplie chaque membre par^n)
:
=\Bigsum_{0\le k\le n}k^2{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k})
Donc, finalement :
=np(1-p+np)-(np)^2)
On a vu dans un calcul plus haut que :
On dérive encore par rapport à
On arrange le membre de gauche, et complète le membre de droite :
On multiplie chaque membre par
On choisit
On multiplie chaque membre par
Donc, finalement :
posté le 11/05/2008 à 21:26re : Théorème
posté par : kopindoPour la deuxième méthode de l'éspèrence je ne l'ai pas compris.vous pouvez me dites pourquoi cette forme??: X=X1+......+Xn
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