On considère la matrice A suivante :

0 1/4 1
1 1/2 1
0 1/4 0

1) Calculez le produit matriciel A 1 .La matrice A est-t-elle inversible?
                                   0
                                  -1

2) a) Calculer A², A^3 et montrer que A^3=1/2(A²+A)
b) La famille (A,A²,A^3) est elle libre ?

3) Prouver par récurrence que pour tout entier n non nul , il existe an et bn tels que :

A^n=an*A^2+bnA avec an+1 = bn+1/2*an
                    bn+1 = 1/2*an

Donner a1 et b1

4)Montrer que pour tout n non nul : an+bn=1
En déduire que bn+1=-1/2bn+1/2

5) Exprimer alors bn et an en fonction  de n

Je suis arrivé jusqu'à la question 3 mais après la récurrence je bloque ainsi que la suivante.